第一章 3.2 第1课时 基本不等式(一)-【导与练】2023-2024学年高中数学必修第一册同步全程学习全书word（新教材，北师大版）

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式(一) 学习目标 1.通过推导基本不等式,提升逻辑推理、直观想象素养. 2.灵活变换条件使用基本不等式解决问题,培养逻辑推理能力,提升数学运算素养. 　　图①是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.它的含义:首先,打开外面正方形的边并放大里面的正方形,这代表着数学家思想的开阔以及中国的开放.颜色的明暗使它看上去更像一个旋转的纸风车,这代表着北京人的热情好客. 探究1:这个图标中含有怎样的几何图形? 答案:该图形(不含边框)中含有一大一小两个正方形和四个全等的直角三角形. 探究2:将会标抽象为图②,你能在这个图②中找到一些相等和不等关系吗? 答案:根据正方形ABCD的面积等于四个直角三角形的面积加上正方形EFGH的面积,可得a2+b2=2ab+(a-b)2;根据正方形ABCD的面积大于等于四个直角三角形的面积,可得a2+b2≥2ab. 1.重要不等式 对于任意实数x和y,≥xy,当且仅当x=y时,等号成立. 2.基本不等式 如果a≥0,b≥0,那么≥,当且仅当a=b时,等号成立. 这个不等式称为基本不等式,又称为均值不等式,其中,称为a,b的算术平均值,称为a,b的几何平均值,可表述为两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 思考:重要不等式≥ab和基本不等式≥成立的条件有什么不同? 提示:重要不等式≥ab对任意实数a,b都成立;基本不等式≥中要求a,b都是非负实数. 对基本不等式的理解 [例1] 给出下列四个推导过程: ①因为a,b为正实数,所以+≥2=2; ②因为a∈R,a≠0,所以+a≥2=4; ③因为x,y∈R,xy<0,所以+=-[(-) +(-)]≤-2=-2. 其中正确的推导为(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析:①因为a,b为正实数,所以,为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确. ②因为a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件, 所以+a≥2=4是错误的. ③由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,-,-均变为正数,符合基本不等式的条件,故③正确.故选B. (1)基本不等式≤(a≥0,b≥0)反映了两个非负实数的和与积之间的关系. (2)对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:①定理成立的条件是a,b都是非负实数. ②“当且仅当”的含义:当a=b时,a=b⇒=;反之=⇒a=b. 针对训练:下列不等式的推导过程正确的是　　　(填序号).  ①若x>1,则x+≥2=2. ②若x<0,则x+=-[(-x)+(-)]≤ -2=-4. ③若a,b∈R,则+≥2=2. 解析:①中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x=,即x=1时,x+≥2等号成立,因为x>1,所以x+>2,③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为非负实数这一条件. 答案:② 利用基本不等式比较大小 [例2] (1)设0<a<b,则下列不等式中正确的是(　　) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b (2)某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　) A.x= B.x≤ C.x> D.x≥ 解析:(1)法一　因为0<a<b, 所以a<<b,排除A,C两项. 又-a=(-)>0,即>a, 排除D项.故选B. 法二　取a=2,b=8,则=4,=5, 所以a<<<b.故选B. (2)由题意知,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2, 所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤() 2=(1+) 2, 所以1+x≤1+, 所以x≤.故选B. 利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a≥0,b≥0. 针对训练:若a,b∈R且ab>0,则下列不等式中恒成立的是(　　) A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C.+> D.+≥2 解析:a2+b2≥2ab,A错误;当a<0,b<0时,B,C错误.故选D. 用基本不等式证明不等式 [例3] 已知a,b,c都是正数,求证:a+b+c---≥0. 证明:因为a,b,c都是正数, 所以a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2, 所以a+b+b+c+a+c≥2(++), 所以a+b+c≥++, 即a+b+c---≥0. 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知”. (2)注意事项: ①多次使用基本不等式