第一章 数列 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

章末总结 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 知识辨析:判断对错.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若数列{an}的前n项和为Sn,则an=Sn-Sn-1,n∈N+.(　×　) (2)等差数列{an}中,必有a10=a1+a9.(　×　) (3)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.(　×　) (4)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数.(　×　) (5) 若{an}是等差数列,则对任意n∈N+都有2an+1=an+an+2.(　√　) (6) 存在一个数列既是等差数列,又是等比数列.(　√　) (7) 若等差数列{an}的前n项和为Sn,则{}也是等差数列.(　√　) (8) 任意两个实数都有等比中项.(　×　) (9) 若{an},{bn}都是等比数列,则{an+bn}是等比数列.(　×　) (10) 数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　×　) 题型一　求数列的通项公式 [例1] (1)(2022·福建永春第一中学高二期末)若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2),a1=2,则a4=(　　) A.2 B.6 C.12 D.20 (2)已知数列{an}中,a1=1,且an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公式. (1)解析:由(n-1)an=(n+1)an-1得=, 所以an=a1···…·=2××××…×=n(n+1)(n≥2), 所以a4=4(4+1)=20.故选D. (2)解: 由an+1-an=3n-n, 得an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), …… a3-a2=32-2, a2-a1=3-1. 当n≥2时,以上n-1个等式两边分别相加,得 (an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)=3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1], 即an-a1=-. 又因为a1=1,所以an=×3n--. 显然a1=1也适合上式,所以{an}的通项公式为an=×3n--. (1)定义法. 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法,这种方法适用于已知数列类型的题目. (2)已知Sn求an. 若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列{an}的通项an可用公式an=求解. (3)由递推公式求数列通项法. ①已知形如“an+1=can+d”的递推公式,一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an. ②已知形如“an+1=pan+pn+1·q”的递推公式,一般转化为=+q,利用{}为等差数列求an. ③已知形如“an+1=an+f(n)”的递推公式,可考虑叠加法求an. ④已知形如“an+1=f(n)·an”的递推公式,则可考虑累乘法求an. 题型二　等差、等比数列的判断 [例2] (2022·山东烟台高二期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数. (1)求证:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. (1)证明:由题意知anan+1=λSn-1, an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1, 由于an+1≠0,所以an+2-an=λ. (2)解:存在λ=4满足题意.理由如下: 由题设知a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1,令2a2=a1+a3,解得λ=4. 故an+2-an=4.由此可得数列中的奇数项构成的数列{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3=2(2n-1)-1. 数列中的偶数项构成的数列{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1=2×(2n)-1,所以对于任意的n∈N+,an=2n-1.因为an+1-an=2,所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.因此假设成立,存在λ=4使得数列{an}为等差数列. 判定一个数列是等差或等比数列的常用方法 (1)定义法,an+1-an=d(d为常数,n∈N+)⇔{an}是等差数列,=q(q为非零常数,n∈N+)⇔{an}是等比数列. (2)中项法,2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔{an}是等差数列,=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N+)⇔{an}为等比数列. (3)通项公式法,an=pn+q(p,q为常数,n∈N+)⇔{an}是等差数列,an=c·qn(c,q均为非零常数,n∈N+)⇔{an}是等比数列. (4)前n项和公式法,Sn=An2+Bn(A,B均为常数,n∈N+)⇔{an}是等差数列,Sn=kqn-k(k为非零常数,q≠1且q≠0,n∈N+)⇒{an}是等比数列. 题型