第二章 7 导数的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课时作业word（北师大版）  

§7　导数的应用 7.1　实际问题中导数的意义 7.2　实际问题中的最值问题 选题明细表 知识点、方法 题号 实际问题中导数的意义 1,2,4,5 面积、容积的最值问题 6,8,11 利润最大、效率最高问题 3,7,9,10,12 基础巩固 1.某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时须在2 s内完成刹车,其位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数为s(t)=-t3-4t2+20t+15,则s′(1)的实际意义为(　C　) A.汽车刹车后1 s内的位移 B.汽车刹车后1 s内的平均速度 C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D.汽车刹车后1 s时的位移 解析:由导数的实际意义知,位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度.故选C. 2.某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是 y=f(x),假设f(x)>0恒成立,且f′(10)=10,f′(20)=1,则这些数据说明第20天与第10天比较(　D　) A.公司已经亏损 B.公司的盈利在增加,且增加的幅度变大 C.公司在亏损且亏损幅度变小 D.公司的盈利在增加,但增加的幅度变小 解析:导数值为正说明盈利是增加的,导数值变小说明增加的幅度变小了,但还是增加的.故选D. 3.(2022·陕西安康高二期中)某商场从生产厂家处以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为p(p≥20)元,销售量为Q件,销售量Q与零售价p有如下关系:Q=8 300-170p-p2,则这批商品的最大毛利润(毛利润=销售收入-进货支出)为(　D　) A.30 000元 B.60 000元 C.28 000元 D.23 000元 解析:设毛利润为L(p), 由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+ 11 700p-166 000,所以L′(p)=-3p2-300p+11 700. 令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).此时,L(30)=23 000. 当20≤p<30时,L′(p)>0, 当p>30时,L′(p)<0, 所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30) 也是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元.故选D. 4.假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)的函数关系式为p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价.假定某商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度是　　　　.(其中1.0510≈1.63,ln 1.05≈0.05,精确到0.01) 解析:p0=1时,p(t)=1.05t,p′(t)=1.05t×ln 1.05, 所以p′(10)=1.0510×ln 1.05≈1.63×0.05≈0.08(元/年). 答案:0.08元/年 5.建造一座长度为x m的桥梁需成本y万元,函数关系为y=f(x)= (x2+x+3)(x>0). (1)当x从100变到200时,平均每米的成本为　　　　万元;  (2)f′(100)=　　　　　　　　　万元/m,其实际意义为　　　　 　 　　　　　　　. 解析:(1)f(100)=1 010.3,f(200)=4 020.3, 所以=30.1(万元/m), 即平均每米的成本为30.1 万元. (2)f′(x)=(2x+1),所以f′(100)=20.1(万元/m),即当长度为 100 m时,每增加1 m的长度,成本就增加20.1万元. 答案:(1)30.1　(2)20.1　当长度为100 m时,每增加1 m的长度,成本就增加20.1万元 6.(2022·安徽宿州高二期中)设正三棱柱的体积为V,当其表面积最小时,底面边长为　　　　. 解析:设底面边长为x,侧棱长为h, 则V=x2sin 60°h,所以h=, 所以S表=2S底+S侧=x2sin 60°+3xh=x2+, 令S表′=x-=0,即x3=4V, 解得x=, 当0<x<时,S表′<0, x>时,S表′>0, 所以当x=时,表面积最小. 答案: 能力提升 7.(多选题)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万千克,每种植1千克莲藕,成本增加0.5元.如果销售额函数是 f(x)=-x3+ax2+x(x是莲藕种植量,单位:万千克;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万千克,利润是2.5万元,则下列说法正确的是(　BC　) A.要使利润最大,每年需种植莲藕8万千克 B.要使利润最大,每年需种植莲藕 6万千克 C.利润最大为万元 D.a=3 解析:由题意,得销售利润g(x)=-x3+ax2+x-1-x,x∈(0,8], 即g(x)=-x3+ax2-1. 当x=2时,g(2)=-1