第二章 3 导数的计算-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课时作业word（北师大版）  

§3　导数的计算 选题明细表 知识点、方法 题号 利用导数公式求函数的导数或函数在某点处的导数 1,4,6,7,8 导数公式的应用 2,3,5,9,10,11,12 基础巩固 1.下列结论错误的是(　D　) A.若y=x6,则y′=6x5 B.若y=log7x,则y′= C.若y=x2,则y′= D.若y=,则y′= 解析:因为(x6)′=6x5,所以A正确; 因为(log7x)′=,所以B正确; 因为(x2)′=(x2·)′=()′=,所以C正确; 因为()′=,所以D错误.故选D. 2.曲线y=f(x)=在点(,)处的切线的斜率为(　A　) A.- B. C.9 D.3 解析:因为f(x)=,所以f′(x)=-3x-4, 所以f′()=-, 即曲线y=f(x)=在点(,)处的切线的斜率为-.故选A. 3. (2022·山东济南高二检测)在曲线y=f(x)=上切线的倾斜角为 π的点的坐标为(　D　) A.(1,1) B.(-1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)或(-1,-1) 解析:切线的斜率k=tan π=-1, 设切点为(x0,y0),则f′(x0)=-1, 又f′(x)=-,所以-=-1, 所以x0=1或-1, 所以切点坐标为(1,1)或(-1,-1).故选D. 4.(多选题)下列判断错误的是(　ABD　) A.f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同 B.求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0) C.曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 D.若f(x)=tan x,则f′(x)=- 5. (2022·北京高二检测)已知曲线y=f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b=　　　　.  解析:因为f′(x)=3x2,所以在点(2,8)处的切线的斜率k=f′(2)=12. 所以切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16, 所以k=12,b=-16,所以k-b=28. 答案:28 6.已知f (x)=x2,g(x)=ln x,若f ′(x)-g′(x)=1,则x=　　　　.  解析:因为f (x)=x2,g(x)=ln x, 所以f ′(x)=2x,g′(x)=,且x>0, 又因为f′(x)-g′(x)=2x-=1, 即2x2-x-1=0, 解得x=1或x=-(舍去).故x=1. 答案:1 能力提升 7.观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,可推得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于(　D　) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析:由题知,一个偶函数的导函数是奇函数. 因为f(x)是偶函数, 所以g(x)是奇函数, 所以g(-x)=-g(x). 故选D. 8.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x), n∈N,则f2 024(x)=(　A　) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x 解析:f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x)=(sin x)′=cos x,f2(x)=f1′(x)= (cos x)′=-sin x,f3(x)=f2′(x)=(-sin x)′=-cos x,f4(x)= f3′(x)=(-cos x)′=sin x,所以4为最小正周期, 故f2 024(x)=f0(x)=sin x.故选A. 9.直线y=x+b是曲线y=f(x)=ln x(x>0)的一条切线,则实数b= 　　　　.  解析:设切点坐标为(x0,y0),则y0=ln x0. 因为f′(x)=(ln x)′=, 所以f′(x0)=,由题意知=, 所以x0=2,y0=ln 2. 由ln 2=×2+b,得b=ln 2-1. 答案:ln 2-1 10.已知点P(-1,1),点Q(2,4)是曲线y=f(x)=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程. 解:因为f′(x)=(x2)′=2x,设切点为M(x0,y0),则f′(x0)=2x0. 又因为直线PQ的斜率k==1, 而切线平行于直线PQ, 所以k=2x0=1,即x0=, 所以切点为M(,). 所以所求的切线方程为y-=x-, 即4x-4y-1=0. 11.求证:曲线xy=1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数. 证明:由xy=1,得y=, 所以y′=-. 在曲线xy=1上任取一点P(x0,), 则过点P的切线的斜率k=-, 切线方程为y-=-(x-x0),即y=-x+. 设该切线与x轴、y轴分别相交于A,B两点,则A(2x0,0),