专题19 空间几何解答题（理科）-2023年高考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

专题19 空间几何解答题（理科） 立体几何（理科）解答题是高考全国卷必考题，难度中等，一般分2问，第1问大多考查平行或垂直的证明，第2问主要考查空间向量求二面角、线面角、线线角的大小，考查利用空间向量探索存在性问题及位置关系等，难度中等偏上。预计2023年高考新课标全国卷第19题会考查立体几何问题，以平行（垂直）关系、空间角为主线进行考查． 一、热点题型归纳 题型1.直线与平面所成角问题 题型2.二面角问题 题型3.距离（体积）问题 题型4.折叠（翻折）问题 题型5.已知二面角（线面角）求参数 题型6.求二面角（线面角）最值 题型7.求长度（体积）最值 题型8.探究（猜想）类问题 题型9.空间几何中的数学文化与新定义问题 二、最新模考题组练 三、十年高考真题练 【题型1】 直线与平面所成角问题 【解题技巧】利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【典例分析】 1．（2022·重庆高三二模）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，，点是中点，点是上靠近点的三等分点. （1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】证明：（1）取中点，连结， 在中，，，∴， 在菱形中，由可知为等边三角形，∴， 又∵，，， ∴，，∴. （2）∵，， 由（1）可知，∴，，两两垂直， 如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标， 不妨设，则，，，，，. 由，得，则的中点， 从而，. 设平面的法向量为，则， 即，不妨取，得，即. 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为 2．（2022·辽宁高三模拟）如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．（1）求证：AF平面BDE；（2）求直线EF与平面BDE所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】证明：（1）取BD的中点G，连接EG、FG，由F为BC的中点，则FGDC且FG＝CD， 因为AECD且CD＝2AE，所以AEFG且AE＝FG，所以四边形AFGE为平行四边形，则AFEG， 又因为平面BDE，平面BDE，所以AF平面BDE； （2）∵AE⊥AB，AE⊥AC，，平面ABC，∴AE⊥平面ABC． 如图，以A为坐标原点，AF为x轴，在平面ABC内，过点A作BC的平行线为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，则，，设平面BDE的法向量为， 则，即，令y＝1，则，所以， 设直线EF与平面BDE所成角为，所以. 【变式演练】 1.（2023·福建三明市·高三模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点．（1）求证：（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）连接， 由己知，E为中点，又，故四边形为正方形，所以知 ∵面面又面面，，平面 ∴平面，故．同理可证 又，故平面连接，可知 又，∴可知平面 又平面∴ 由已知，故四边形为平行四边形 故 ∴可知 （2）以A为坐标原点，分别以的正方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，知，不妨设则可知，， ∴）， 设平面的法向量为 则令，则∴ 又故 设与平面所成的角为θ，则 . 2．（2023·河北高三模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点． （1）求证：（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）在中，因为， 所以，所以， 因为，所以平面，因为平面PAD，所以． （2）由（1）知，以所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示： 在中，因为，所以， 所以；因为平面，平面，所以. 因为，所以平面可得 因为，所以， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 所以，令，则4，所以 设直线与平面所成的角为，则 【题型2】 二面角问题 【解题技巧】利用向量法计算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小．但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 【典例分析】 1．（2022·福建·三模）如图，在三棱锥中，和均是边长为4