第一篇 专题五 第3讲 解析几何热点问题-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

第3讲　解析几何热点问题 考查特点 关键能力 学科素养 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一,主要以解答题形式考查,往往作为试卷的压轴题之一. 2.以椭圆或抛物线为背景,尤其是与条件或结论相关的存在开放性问题,对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求,并突出数学思想方法的考查 运算求解能力、逻辑思维能力 逻辑推理、 数学运算 1.[定点问题](2022·全国乙卷)已知椭圆E的中点为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过A(0,-2),B(,-1)两点. (1)求E的方程; (2)设过点P(1,-2)的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足=.证明:直线HN过定点. (1)解:因为椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过点A(0,-2), 所以可设椭圆E的方程为+=1(a≠0), 又椭圆E过点B(,-1), 所以+=1,解得a2=3, 所以E的方程为+=1. (2)证明:当直线MN的斜率不存在时, lMN:x=1, 由 得y2=, 所以y=±. 综合题意可知M(1,-),N(1,), 所以过M且平行于x轴的直线的方程为 y=-. 易知点T的横坐标为xT∈[0,], 直线AB的方程为y-(-2)=×(x-0), 即y=x-2, 由 得xT=3-, 所以T(3-,-). 因为=, 所以H(5-2,-), lHN:y-=(x-1), 即y=x-2. 当直线MN的斜率存在时, 如图,设M(x1,y1), N(x2,y2), lMN:y=kx+m(k+m=-2). 由 得(3k2+4)x2+6kmx+3m2-12=0,Δ>0, 所以 x1+x2=-, x1x2=. 过M且平行于x轴的直线的方程为y=y1, 与直线AB的方程联立, 得 得xT=, 所以T(,y1). 因为=, 所以H(3y1+6-x1,y1), lHN:y-y2=(x-x2), 即y=x+y2-·x2, 令x=0, 得y=y2- = =. 因为y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk·(x1+x2)+m2=, y1+y2=(kx1+m)+(kx2+m)=k(x1+x2)+2m=, x1y2+x2y1=x1(kx2+m)+x2(kx1+m)=2kx1x2+m(x1+x2)=, 所以-(x1y2+x2y1)+3y1y2=+ = =, -(x1+x2)+6+3(y1+y2) =+6+ = =, 所以y==-2, 所以直线HN过定点(0,-2). 综上,直线HN过定点(0,-2). 2.[圆锥曲线中的最值、范围问题](2021·全国乙卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求抛物线C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足=9,求直线OQ斜率的最大值. 解:(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(,0), 准线方程为x=-, 由题意,该抛物线焦点到准线的距离为 -(-)=p=2, 所以该抛物线的方程为y2=4x. (2)设Q(x0,y0),则=9=(9-9x0,-9y0), 所以P(10x0-9,10y0), 由P在抛物线上可得=4(10x0-9), 即x0=, 所以直线OQ的斜率 kOQ===, 当y0=0时,kOQ=0; 当y0≠0时,kOQ=, 当y0>0时,因为25y0+≥2=30, 此时0<kOQ≤,当且仅当25y0=,即y0=时,等号成立;当y0<0时,kOQ<0. 综上,直线OQ斜率的最大值为. 3.[圆锥曲线中的最值、范围问题](2022·全国甲卷)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3. (1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程. 解:(1)当MD⊥x轴时,则|MF|=p+=3, 解得p=2, 所以抛物线C的方程为y2=4x. (2)如图,根据(1)知F(1,0),D(2,0). 当MN⊥x轴时,易得α=β=,此时α-β=0. 当MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4), 则直线MN的方程为y-y1=(x-x1), 即y-y1=(x-x1)=(x-x1), 即y(y1+y2)-y1(y1+y2)=4(x-x1), 所以直线MN的方程为y(y1+y2)-y1y2=4x. 同理可得,直线AM的方程为y(y3+y1)-y3y1=4x,直线BN的方程为y(y4+y2)-y4y2=4x,直线AB的方程为y(y4+y3)-y4y3=4x. 因为F(1,0)在直线MN上,所以y1