第一篇 专题五 第2讲 圆锥曲线-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

第2讲　圆锥曲线 考查特点 关键能力 学科素养 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题. 2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查 运算求解能力、逻辑思维能力 逻辑思维、数学运算 1.[抛物线的定义](2022·全国乙卷)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|等于(　B　) A.2 B.2 C.3 D.3 解析:法一　由题意可知F(1,0), 准线方程为x=-1,设A(,y0), 由抛物线的定义可知|AF|=+1, 又|BF|=3-1=2, 由|AF|=|BF|, 可得+1=2, 解得y0=±2, 所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2), 故|AB|==2. 法二　由题意可知F(1,0),|BF|=2, 所以|AF|=2,抛物线通径为4, 所以|AF|=2为通径的一半,所以AF⊥x轴, 所以|AB|==2. 2.[椭圆的标准方程](2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为(　B　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析:依题意,得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1,又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为+=1. 3.[双曲线的渐近线](2021·全国甲卷)点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为(　A　) A. B. C. D. 解析:由双曲线的方程知,a=4,b=3,焦点在x轴上,所以双曲线的一条渐近线方程为y=x,即3x-4y=0,由点到直线的距离公式得,点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为=. 4.[椭圆的离心率](2022·全国甲卷)椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　A　) A. B. C. D. 解析:法一　设P(m,n)(n≠0),则Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=·==(*).因为点P在椭圆C上,所以+=1,得n2=(a2-m2),代入(*)式,得=,结合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e==. 法二　设椭圆C的右顶点为B,则直线BP与直线AQ关于y轴对称,所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以e=. 5.[双曲线的离心率](2022·全国甲卷)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　.  解析:双曲线C的渐近线方程为y=±x,若直线y=2x与双曲线C无公共点,则2≥,所以≤4,所以e2==1+≤5,又e>1,所以e∈(1,],所以填写(1,]内的任意值均可. 答案:(1,]内的任意值均可 热点一　圆锥曲线的定义及标准方程 (1)(2022·四川成都二诊)设经过点F(1,0)的直线与抛物线y2=4x相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标为2,则|AB|等于(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)(2020·全国Ⅰ卷)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　) A. B.3 C. D.2 (3)(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),因为线段AB中点的横坐标为2,所以x1+x2=2×2=4. 在抛物线y2=4x中p=2,所以点F(1,0)为抛物线y2=4x的焦点,则由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=4+2=6.故选C. (2)设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0), 又|OP|=2, 所以|OP|=|OF1|=|OF2|, 所以△PF1F2是直角三角形, 所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16. 不妨令点P在双曲线C的右支上, 则有|PF1|-|PF2|=2,两边平方, 得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4, 又|PF1|2+|PF2|2=16, 所以|PF1|·|PF2|