第一篇 专题三 第2讲 空间线面位置关系-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

第2讲　空间线面位置关系 考查特点 关键能力 学科素养 高考对此部分的考查较为稳定,选择题、填空题多考查空间线面位置关系的判断,难度中等偏下,而作为解答题常以第(1)问出现,考查空间平行关系和垂直关系的证明,而第(2)问则多考查空间几何体的面积、体积的计算,难度中等 逻辑思维能力、空间想象能力、运算求解能力 直观想象、 逻辑推理、 数学运算 1.[面面垂直与平行的判定](2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BC的中点,则(　A　) A.平面B1EF⊥平面BDD1 B.平面B1EF⊥平面A1BD C.平面B1EF∥平面A1AC D.平面B1EF∥平面A1C1D 解析:对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为E,F分别为AB,BC的中点,所以EF⊥BD,因为平面ABCD⊥平面BDD1,交线为BD,EF⊂平面ABCD,所以EF⊥平面BDD1,又EF⊂平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故选项A正确;对于选项B,因为平面A1BD∩平面BDD1=BD,由选项A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故选项B错误;对于选项C,由题意知直线AA1与直线B1E必相交,故平面B1EF与平面A1AC不平行,故选项C错误;对于选项D,连接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C与平面B1EF有公共点B1,所以平面AB1C与平面B1EF不平行,即平面A1C1D与平面B1EF不平行,故选项D错误. 2.[直线与平面所成的角](2022·全国甲卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°,则(　D　) A.AB=2AD B.AB与平面AB1C1D所成的角为30° C.AC=CB1 D.B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 解析: 如图,连接BD,易知∠BDB1是直线B1D与平面ABCD所成的角, 所以在Rt△BDB1中, ∠BDB1=30°,设BB1=1,则B1D=2BB1=2,BD==.易知∠AB1D是直线B1D与平面AA1B1B所成的角,所以在Rt△ADB1中,∠AB1D=30°,所以易得AD=1,AB1==,所以在Rt△ABB1中,AB==,所以A项错误.易知∠BAB1是直线AB与平面AB1C1D所成的角,又在Rt△ABB1中,sin ∠BAB1==≠,所以∠BAB1≠30°,所以B项错误.在Rt△CBB1中,CB1==,又AC=BD=,所以C项错误.易知∠DB1C是直线B1D与平面BB1C1C所成的角,又在Rt△DB1C中,CB1=CD=,所以∠DB1C=45°,所以D项正确. 3.[异面直线所成的角](2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　D　) A. B. C. D. 解析:如图所示,画出正方体ABCD-A1B1C1D1,连接PC1,BC1,易知AD1∥BC1,所以异面直线PB与AD1所成的角等于∠PBC1(或其补角). 法一　设正方体的棱长为1,则易知PC1=,PB=,BC1=,所以P+PB2=B,所以PB⊥PC1,即∠BPC1=.又sin ∠PBC1==,所以∠PBC1=. 法二　设正方体的棱长为1,则易知PC1=,PB=,BC1=, 所以cos ∠PBC1==,所以∠PBC1=. 4.[面面垂直的判定与棱锥的体积](2022·全国乙卷)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点. (1)证明:平面BED⊥平面ACD; (2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥FABC的体积. (1)证明:因为AD=CD, ∠ADB=∠BDC, DB=DB,所以△ADB≌△CDB, 所以BA=BC, 又E为AC的中点, 所以AC⊥BE,AC⊥DE, 因为BE∩DE=E,且BE,DE⊂平面BED, 所以AC⊥平面BED, 又AC⊂平面ACD, 所以平面BED⊥平面ACD. (2)解:由(1)可知BA=BC, 因为∠ACB=60°,AB=2, 所以AC=2,则BE=,DE=1, 又BD=2,所以BD2=BE2+DE2, 所以DE⊥EB. 连接EF(图略),易知当△AFC的面积最小时,EF取最小值, 在Rt△BED中,EF的最小值为点E到BD的距离, 故当△AFC的面积最小时,EF==. 由射影定理知EF2=DF·FB, 又DF+FB=BD=2, 所以DF=,FB=. 法一　因为DE⊥AC,DE⊥BE, AC∩BE=E,AC,BE⊂平面ABC, 所以DE⊥平面ABC, 则点F到平面ABC的距离d=·DE=. 故=S△ABC·d=××4×=.