第一篇 专题七 第2讲 不等式选讲-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

第2讲　不等式选讲 考查特点 关键能力 学科素养 1.不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是绝对值不等式以及不等式的证明,其中绝对值不等式的解法以及利用不等式恒成立求参数的取值范围,含有参数的绝对值的函数最值是命题的热点. 2.该部分在高考中以选做解答题的形式呈现,试题难度中档,备考时应注意分类整合思想的应用 逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力 数学抽象、 逻辑思维、 数据分析、 数学运算 1.[不等式的证明、基本不等式、不等式的性质](2022·全国乙卷)已知a,b,c都是正数,且++=1,证明: (1)abc≤; (2)++≤. 证明:(1)因为a,b,c都是正数, 1=++≥3=3, 所以abc≤, 当且仅当a=b=c=(时,等号成立. (2)由基本不等式得b+c≥2,所以≤, 同理得≤,≤. 利用不等式的性质,得 ++ ≤++ =++ ==, 当且仅当a=b=c=(时,等号成立. 2.[基本不等式、柯西不等式证明不等式](2022·全国甲卷)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明: (1)a+b+2c≤3; (2)若b=2c,则+≥3. 证明:(1)法一 (平方转化基本不等式证明) 因为a2+b2+4c2=3, 所以(a+b+2c)2=a2+b2+4c2+2(ab+2bc+2ac)≤3+(a2+b2)+[b2+(2c)2]+[a2+(2c)2], 当且仅当a=b=2c=1时,取等号, 所以(a+b+2c)2≤3+2[a2+b2+(2c)2]=9. 又a,b,c均为正数,所以a+b+2c≤3. 法二 (柯西不等式证明)　因为a2+b2+4c2=3,所以根据柯西不等式有3×3=(a2+b2+4c2)(12+12+12)≥(a+b+2c)2,当且仅当a=b=2c=1时,取等号. 又a,b,c均为正数, 所以a+b+2c≤3. (2)因为b=2c,所以根据(1)有a+4c≤3. +=+)≥+)= (1+++4)≥(5+2)=3, 当且仅当a=b=2c=1时,取等号. 3.[分段函数图象、不等式的解法](2021·全国甲卷)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|. (1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象; (2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围. 解:(1)由已知得g(x)= 所以y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示. (2)y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度或向右平移|a|(a<0)个单位长度得到的,根据图象可知向右平移不符合题意,向左平移到y=f(x+a)的图象的右支过y=g(x)的图象上的点(,4)时为临界状态,如图所示,此时y=f(x+a)的图象的右支对应的函数解析式为y=x+a-2(x≥2-a), 则4=+a-2,解得a=. 因为f(x+a)≥g(x), 所以a≥, 所以a的取值范围为[,+∞). 4.[绝对值不等式的解法](2021·全国乙卷)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥6的解集; (2)若f(x)>-a,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时, f(x)=|x-1|+|x+3|, 则f(x)≥6, 即|x-1|+|x+3|≥6, 当x≤-3时, 1-x-x-3≥6,解得x≤-4; 当-3<x≤1时, 1-x+x+3≥6,即4≥6,不等式不成立,此时无解; 当x>1时, x-1+x+3≥6,解得x≥2. 综上,不等式f(x)≥6的解集为{x|x≤-4或x≥2}. (2)f(x)=|x-a|+|x+3|≥|(x-a)-(x+3)|=|3+a|,当且仅当x在a与-3之间(包括两个端点)时取等号, 若f(x)>-a, 则|3+a|>-a, 即3+a>-a或3+a<a, 解得a>-. 故a的取值范围为(-,+∞). 热点一　含有绝对值的不等式的解法 (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集. 解:(1)由题设知f(x)= y=f(x)的图象如图所示. (2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象. y=f(x)的图象与y=f(x+1)的图象的交点坐标为(-,-). 由图象可知当且仅当x<-时,y=f(x)的图象在y=f(x+1)的图象上方. 故不等式f(x)>f(x+1)的解集为(-∞,-). 绝对值不等式的解法 (2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集; (2)若f(x)≥4,求a的取值范围. 解:(1)当a=2时, f(x)=