第一篇 专题六 第2讲 导数的简单应用-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

第2讲　导数的简单应用 考查特点 关键能力 学科素养 全面考查导数的几何意义,包括求解曲线的切线以及根据切线方程求参数值等;考查导数在研究函数性质中的基本应用,包括利用导数研究函数性质判断函数图象、利用导数研究函数的单调性和极值、最值等.在选择题、填空题以及解答题中都有所考查,其中导数的几何意义为中等难度偏下,其他问题属于较难的题 逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力 逻辑推理、 数学建模、 数学运算 1.[函数的最值](2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f′(2)等于(　B　) A.-1 B.- C. D.1 解析:由题意知,f(1)=aln 1+b=b=-2.对f(x)求导得f′(x)=-(x>0),因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以易得f′(1)=a-b=0,所以a=-2,所以f′(2)=-=-. 2.[函数的最值](2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　D　) A.-, B.-, C.-,+2 D.-,+2 解析:f(x)=cos x+(x+1)sin x+1,x∈[0,2π], 则f′(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x. 令f′(x)=0, 解得x=-1(舍去),x=或x=. 因为f()=cos +(+1)sin +1=2+,f()=cos +(+1)sin + 1=-, 又f(0)=cos 0+(0+1)sin 0+1=2, f(2π)=cos 2π+(2π+1)sin 2π+1=2, 所以f(x)max=f()=2+, f(x)min=f()=-. 3.[函数的极值](2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则(　D　) A.a<b B.a>b C.ab<a2 D.ab>a2 解析:函数f(x)=a(x-a)2(x-b)=(x-a)2(ax-ab),求导得f′(x)=2(x-a)(ax-ab)+a(x-a)2=a(x-a)(3x-a-2b).令f′(x)=0,结合a≠0可求得x=a或x=. (1)当a>0时, ①若>a,即b>a,此时易知函数f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,)上单调递减,所以x=a为函数f(x)的极大值点,满足题意; ②若=a,即b=a,此时函数f(x)=a(x-a)3在R上单调递增,无极值点,不满足题意; ③若<a,即b<a,此时易知函数f(x)在(,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 所以x=a为函数f(x)的极小值点,不满足题意. (2)当a<0时, ①若>a,即b>a,此时易知函数f(x)在(-∞,a)上单调递减,在(a,)上单调递增,所以x=a为函数f(x)的极小值点,不满足题意; ②若=a,即b=a,此时函数f(x)=a(x-a)3在R上单调递减,无极值点,不满足题意; ③若<a,即b<a,此时易知函数f(x)在(,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减, 所以x=a为函数f(x)的极大值点,满足题意. 综上可知,当a>0且b>a时,满足题意,当a<0且b<a时,也满足题意.据此可知,必有ab>a2成立. 4.[导数的运算](2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=,若f′(1)=,则a=　　　　　　.  解析:由于f′(x)=, 故f′(1)==,解得a=1. 答案:1 5.[导数的几何意义](2022·全国甲卷)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线. (1)若x1=-1,求a; (2)求a的取值范围. 解:(1)当x1=-1时,f(-1)=0, 所以切点坐标为(-1,0). 由f(x)=x3-x, 得f′(x)=3x2-1, 所以切线斜率k=f′(-1)=2, 所以切线方程为y=2(x+1),即y=2x+2. 将y=2x+2代入y=x2+a, 得x2-2x+a-2=0. 由切线y=2x+2与曲线y=g(x)也相切, 得Δ=(-2)2-4(a-2)=0,解得a=3. (2)由f(x)=x3-x,得f′(x)=3x2-1, 所以切线斜率k=f′(x1)=3-1, 所以切线方程为 y-(-x1)=(3-1)(x-x1), 即y=(3-1)x-2. 将y=(3-1)x-2代入y=x2+a, 得x2-(3-1)x+a+2=0. 由切线y=(3-1)x-2与曲线y=g(x)也相切,得Δ=(3-1)2-4(a+2)=0, 整理,得4a=9-8-6+1. 令h(x)=9x4-8x3-6x2+1, 则h′(x)=36x3-24x2-12x =12x(3x+1)(x-1