第一篇 专题二 第2讲 数列求和与综合应用-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

第2讲　数列求和与综合应用 考查特点 关键能力 学科素养 已知数列递推关系求通项公式,主要考查利用an与Sn的关系求通项公式,累加法、累乘法及构造法求通项公式,主要以选择、填空题的形式考查,有时也作为解答题的第(1)问考查,难度中等.数列求和常与数列综合应用一起考查,常以解答题的形式考查,有时与函数不等式综合在一起考查,难度中等偏上 逻辑推理能力、运算求解能力、数学建模能力 逻辑推理、数学运算、 数学建模 1.[数列递推关系](2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中,a1=2,=aman.若++…+=215-25,则k等于(　C　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:令m=1,则由am+n=aman,得an+1=a1an,即=a1=2,所以数列{an}是首项为2、公比为2的等比数列,所以an=2n,所以ak+1+ak+2+…+ak+10=ak(a1+a2+…+a10)=2k×=2k+1×(210-1)=215-25=25×(210-1),解得k=4. 2.[Sn与an的关系](2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=　 . 解析:因为Sn=2an+1, 当n≥2时,Sn-1=2an-1+1, 所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1, 即an=2an-1. 当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1. 所以数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列, 所以Sn===1-2n, 所以S6=1-26=-63. 答案:-63 3.[累加法与分组求和法](2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1,前16项和为540,则a1=　　　　.  解析:因为数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1, 所以当n=2k(k∈N*)时, a2k+2+a2k=6k-1(k∈N*), 所以(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92. 当n=2k-1(k∈N*)时, a2k+1-a2k-1=6k-4(k∈N*), 所以当k≥2时, a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+…+(a2k-1-a2k-3)=a1+2+8+14+…+[6(k-1)-4]=a1+=a1+(3k-4)(k-1),当k=1时上式也成立, 所以a2k-1=a1+(3k-4)(k-1)(k∈N*), 即a2k-1=a1+3k2-7k+4(k∈N*). 法一　所以a1+a3+a5+a7+…+a15=8a1+3×(12+22+32+…+82)-7×(1+2+3+…+8)+4×8=8a1+3×-7×+32=8a1+612-252+32=8a1+392. 又前16项和为540,所以92+8a1+392=540, 解得a1=7. 法二　所以a2k-1=a1+(3k2+3k+1)-10k+3=a1+[(k+1)3-k3]-10k+3, 所以a1+a3+a5+a7+…+a15=8a1+(23-13)+(33-23)+…+(93-83)-10×+3×8=8a1+93-13-360+24=8a1+392. 又前16项和为540,所以92+8a1+392=540, 解得a1=7. 答案:7 4.[基本量法与裂项相消法](2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,{}是公差为的等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)证明:++…+<2. (1)解:法一　因为a1=1,所以=1, 又{}是公差为的等差数列, 所以=1+(n-1)×=. 因为当n≥2时,an=Sn-Sn-1, 所以=(n≥2), 所以=(n≥2), 整理得=(n≥2), 所以××…××=××…××=(n≥2), 所以Sn=(n≥2). 又S1=1也满足上式, 所以Sn=(n∈N*). 则Sn-1=(n≥2), 所以an=-=(n≥2), 又a1=1也满足上式,所以an=(n∈N*). 法二　因为a1=1,所以=1, 又{}是公差为的等差数列, 所以=1+(n-1)×=,所以Sn=an. 因为当n≥2时, an=Sn-Sn-1=an-an-1, 所以an-1=an(n≥2), 所以=(n≥2), 所以××…××=×××…××=(n≥2), 所以an=(n≥2), 又a1=1也满足上式,所以an=(n∈N*). (2)证明:因为an=, 所以==2(-), 所以++…+=2[(1-)+(-)+…+(-)+(-)]=2(1-)<2. 故原式得证. 5.[数列的综合问题](2022·浙江卷)已知等差数列{an}的首项a1=-1,公差d>1.记{an}的前n项和为Sn(n∈N*). (1)若S4-2a2a3+6=0,求Sn; (