第一篇 专题二 第1讲 等差数列与等比数列-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

专题二　数　列 第1讲　等差数列与等比数列 考查特点 关键能力 学科素养 考查等差数列、等比数列基本量的计算,性质的应用及两种类别的判断与证明等.选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下 运算求解能力、 逻辑推理能力 数学运算、 逻辑推理 1.[等比数列的性质](2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6等于(　A　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:因为S2=4,S4=6,则易知公比q≠±1,所以由等比数列的前n项和公式,得 两式相除, 得q2=, 所以或 所以S6==7. 2.[等比数列基本量](2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6等于(　D　) A.14 B.12 C.6 D.3 解析:法一　设等比数列{an}的公比为q, 易知q≠1. 由题意可得 即 解得所以a6=a1q5=3. 法二　设等比数列{an}的公比为q,易知q≠1. 由题意可得 即 解得所以a6=a1q5=3. 3.[等差数列实际应用](2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多 9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　C　) A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块 D.3 339块 解析:由题意知,由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列,记为{an},易知其首项a1=9、公差d=9,所以an=a1+(n-1)d=9n.设数列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,所以(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=S2n-2Sn=-2×=9n2=729,得n=9,所以三层共有扇面形石板的块数为S3n===3 402. 4.[等差数列基本量](2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.  解析:因为2S3=3S2+6, 所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6, 化简得3d=6,得d=2. 答案:2 热点一　等差、等比数列的基本运算 (1)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=2,S8=10,则{an}的公比为(　　) A.1 B. C.2 D.4 (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,S4=4S2. ①求数列{an}的通项公式; ②若am+am+1+am+2+…+am+9=180(m∈N*),求m的值. (1)解析:设{an}的公比为q(q>0),由S4=2,S8=10,得q4==4,得q=或q=-(舍去).故选B. (2)解:①设等差数列{an}的公差为d, 由S4=4S2得,4a1+6d=8a1+4d, 整理得d=2a1. 又a1=1,所以d=2, 所以an=a1+(n-1)d=2n-1(n∈N*). ②am+am+1+am+2+…+am+9=180可化为10am+45d=20m+80=180, 解得m=5. 解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想,即通过等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式得出基本量(等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比),然后再通过相关公式求得结果.如果条件与结论存在明显的特征,一般运用数列的性质解题较为简捷.注意在解答题中,题目中没有的量需要设出来再用. (1)已知公差不为0的等差数列{an}中,a2+a4=a6,a9=,则a10等于(　　) A. B.5 C.10 D.40 (2)(2020·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3-a1=8. ①求{an}的通项公式; ②记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m. (1)解析:设数列{an}的首项为a1,公差为d, 则由已知得 由于d≠0,故解得a1=d=, 所以a10=+×9=.故选A. (2)解:①设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1. 由已知得 解得a1=1,q=3. 所以{an}的通项公式为an=3n-1. ②由①知log3an=n-1.故Sn=. 由Sm+Sm+1=Sm+3, 得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2), 即m2-5m-6=0, 解得m=-1(舍去)或m=6. 热点二　等差、等比数列的性质 1.已知{an}是等差数列,满足3(a1+a5)+2(a3+a6+a9)=18,则该数列前8项和为(　D　) A.36 B.