第三篇 十、选修4系列-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

十、选修4系列 回扣1　坐标系与参数方程 1.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则 2.圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+-r2=0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)圆心位于极点,半径为r:ρ=r; (2)圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos θ; (3)圆心位于M(a,),半径为a:ρ=2asin θ. 3.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且与极轴所成的角为α,则它的方程为ρsin(α-θ)=ρ0sin(α-θ0). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0; (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; (3)直线过M(b,)且平行于极轴:ρsin θ=b. 4.几种常见曲线的参数方程 (1)直线 经过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程是其中t是参数. (2)圆 以O′(a,b)为圆心,r为半径的圆的参数方程是其中α是参数. 当圆心为(0,0)时,方程为其中α是参数. (3)椭圆 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中是参数. 椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是其中是参数. 1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ+11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 解:(1)因为-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1). 由题意,得l的直角坐标方程为2x+y+11=0. (2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数,-π<α<π), C上的点到l的距离为=, 当α=-时,取得最小值,故C上的点到l距离的最小值为. 2.在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ=4sin θ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P. (1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程; (2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求点P轨迹的极坐标方程. 解:(1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin =2. 由已知得|OP|=|OA|cos =2. 设Q(ρ,θ)为l上除P的任意一点. 在Rt△OPQ中,ρcos(θ-)=|OP|=2, 经检验,点P(2,)在曲线ρcos(θ-)=2上, 所以l的极坐标方程为ρcos(θ-)=2. (2)设P(ρ,θ),在Rt△OAP中, |OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因为P在线段OM上,且AP⊥OM, 故θ的取值范围是[,]. 所以点P轨迹的极坐标方程为ρ=4cos θ,θ∈[,]. 回扣2　不等式选讲 1.绝对值不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c. (2)|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. 3.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式几何意义求解,体现数形结合思想. (2)利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想. (3)通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. 4.证明不等式的基本方法 (1)比较法;(2)综合法;(3)分析法;(4)反证法;(5)放缩法. 1.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 证明:因为a,b,c为正数,且abc=1,故有 (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3= 3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×2·2·2=24, 所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24,当且仅当a=b=c=1时,等号成立. 2.已知函数f(x)=|2x-2|-|x+1|. (1)画出f(x)的图象; (2)当x∈(-∞,0]时,f(x)≥ax-b,求a+b的最小值. 解:(1)因为f(x)=|2x-2|-|x+1|=函数f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知,f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1,且y轴左侧部分的折线段所在直线的斜率分别为-1和-3,因为f(x)≥ax-b