第二篇 第3讲 解题有门道 四大数学思想-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

第3讲　解题有门道:四大数学思想 高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合,二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容,可用文字和符号来记录和描述,那么数学思想方法则是数学的意识,重在领会、运用,属于思维的范畴,用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等. 一、函数与方程思想 热点一　函数与方程思想在不等式中的应用 已知函数f(x)=x2+3,g(x)=x(a-2ln x),若f(x)≥g(x)对任意x∈(0,+∞)成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,4] C.(-∞,4ln 3] D.(-∞,4+2ln 3] 解析:函数f(x)=x2+3,g(x)=x(a-2ln x), 若f(x)≥g(x)对任意x∈(0,+∞)成立, 则x++2ln x≥a, 令h(x)=x++2ln x,x∈(0,+∞), 则h′(x)=1-+=. 当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=4,故a≤4.故选B. 函数与不等式的相互转化,把不等式转化为函数,借助函数的图象和性质可解决相关的问题,常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数,建立函数关系求解. (2022·全国甲卷)已知a=,b=cos ,c=4sin ,则(　　) A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 解析:因为b=cos =1-2sin2,所以b-a=1-2sin2-=-2sin2=2(-sin2).令f(x)=x-sin x,则f′(x)=1-cos x≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,所以当x>0时,f(x)>f(0)=0,即有x>sin x(x>0)成立,所以>sin ,得>sin2,所以b>a.因为==4tan ,所以令g(x)=tan x-x,则g′(x)=-1=≥0,所以函数g(x)在定义域内单调递增,所以当x>0时,g(x)>g(0)=0,即有tan x>x(x>0)成立,所以tan >,即4tan >1,所以>1(b>0),即c>b.综上c>b>a.故选A. 热点二　函数与方程思想在数列中的应用 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=-2,S5=0,S6=3. (1)求数列{an}的前n项和Sn; (2)求nSn的最小值. 解:(1)因为S4=-2,S5=0,S6=3, 所以a5=S5-S4=2,a6=S6-S5=3, 又{an}是等差数列,则公差d=a6-a5=1, 由于S5==0,所以a1=-2, 故Sn=-2n+=. (2)由(1)知,nSn=,设f(x)=, 则f′(x)=x2-5x(x>0). 令f′(x)>0,得x>;令f′(x)<0,得0<x<, 所以f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)上单调递减,又f(3)=-9,f(4)=-8, 所以当n=3时,nSn取到最小值-9. 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,可用函数的观点去处理数列问题,常涉及最值问题或参数范围问题,一般利用二次函数;等差数列或等比数列的基本量的计算一般划归为方程(组)来解决. 设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1·a2·…·an的最大值为　.  解析:等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,设公比为q, 可得a2+a4=q(a1+a3)=5,解得q=, a1+a1q2=10,解得a1=8, 则a1·a2·…·an=q1+2+3+…+(n-1)= 8n·(==,根据二次函数的性质可得当n=3或n=4时,最大, 此时a1·a2·…·an取得最大值=26=64. 答案:64 热点三　函数与方程思想在解析几何中的应用 (2022·四川成都二诊)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(,),其右顶点为A(2,0). (1)求椭圆C的方程; (2)若点P,Q在椭圆C上,且满足直线AP与AQ的斜率之积为,证明直线PQ经过定点,并求△APQ面积的最大值. 解:(1)由已知得a=2, 所以椭圆C的方程为+=1. 将点(,)代入椭圆C的方程,得+=1,解得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)由题意知直线PQ的斜率存在. 设直线PQ的方程为y=kx+m, P(x1,y1),Q(x2,y2). 由 消去y,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0, 则Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)=16(4k2-m2+1)>0,所以x1+x2=-,x1x2=, 所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+