第一篇 专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形-【导与练】2023高考文科数学二轮复习教师用书word（老教材）

第2讲　三角恒等变换与解三角形 考查特点 关键能力 学科素养 三角恒等变换在高考中主要考查三角恒等变换公式的正用、逆用及变形应用,而解三角形主要考查正弦定理、余弦定理、面积公式的综合问题,有时也涉及三角恒等变换,难度中等.单独考查以选择题、填空题为主,综合考查以解答题为主,难度中等,解答题可能会设计“结构不良”试题 逻辑思维能力、运算求解能力 数学运算、 逻辑推理、 数学建模 1.[三角恒等变换](2021·全国乙卷)cos2-cos2等于(　D　) A. B. C. D. 解析:因为cos =sin(-)=sin ,所以cos2-cos2=cos2-sin2=cos =. 2.[解三角形](2021·全国甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=,AB=2,则BC等于(　D　) A.1 B. C. D.3 解析:法一　由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,得BC2+2BC-15=0, 解得BC=3或BC=-5(舍去). 法二　由正弦定理=,得sin C=,从而cos C=(C是锐角), 所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×-×=. 又=, 所以BC=3. 3.[解三角形实际应用](2021·全国甲卷) 2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A′,B′,C′满足∠A′C′B′=45°,∠A′B′C′=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB′与CC′的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′-CC′约为(≈1.732)(　B　) A.346 B.373 C.446 D.473 解析:如图所示,根据题意过C作CE∥C′B′,交BB′于E,过B作BD∥A′B′,交AA′于D,则BE=100, C′B′=CE=. 在△A′C′B′中,∠C′A′B′=75°,则BD=A′B′=.又在B点处测得A点的仰角为45°,所以AD=BD=,所以高度差AA′-CC′=AD+BE=+100=+100=+100= +100=100(+1)+100≈373. 4.[面积公式与解三角形](2021·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　.  解析:由题意得S△ABC=acsin B=ac=,则ac=4,所以a2+c2=3ac=3×4=12,所以b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×=8,则b=2. 答案:2 5.[三角恒等变换与解三角形](2020·全国Ⅰ卷改编)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.若sin A+sin C=,则C=　　　　.  解析:在△ABC中,A=180°-B-C=30°-C, 所以sin A+sin C=sin(30°-C)+sin C=sin(30°+C). 故sin(30°+C)=. 而0°<C<30°,所以30°+C=45°, 故C=15°. 答案:15° 6.[解三角形](2022·全国甲卷)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD=　　　　.  解析:设BD=k(k>0),则CD=2k.根据题意作出大致图形,如图.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=22+k2-2×2k×(-)=k2+2k+4.在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC=22+(2k)2-2×2×2k×=4k2-4k+4,则===4-=4-=4-,因为k+1+≥2(当且仅当k+1=,即k=-1时,等号成立),所以≥4-=4-2=(-1)2,所以当取得最小值-1时,BD=k=-1. 答案:-1 7.[解三角形](2022·全国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sin B·sin(C-A). (1)若A=2B,求C; (2)证明:2a2=b2+c2. (1)解:由A=2B,A+B+C=π, 可得A=. 将A=2B代入sin Csin(A-B)=sin Bsin(C-A),可得sin Csin B=sin Bsin(C-A), 因为B∈(0,π),sin B≠0, 所以sin C=sin(C-A), 又A,C∈(0,π), 所以C+C-A=π, 即A=2C-π, 与A=联立,解得C=. (2)证明:法一　由sin Csin(A-B