专题训练(一) 等腰三角形中常见辅助线的作法（作业课件）-【四清导航】2021-2022学年八年级数学下册（北师大版）河南

数学 八年级下册 北师版 第一章　三角形的证明 专题训练(一)　等腰三角形中常见辅助线的作法 2．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D， E是AD上一点，且EA＝EC，连接EB，求证：EB⊥AB. 类型之二　巧用特殊角构造含30°角的直角三角形 技巧点拨：遇含有30°或60°或120°或150°角的三角形(有时是多边形)时，要善于联想到含30°角的直角三角形，然后构造出符合这种直角三角形模型特征的辅助线． 方法1：作垂线构造直角三角形 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝15°，求AB边上的高． 4．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°. 若AB＝2，CD＝8，求AD的长． 解：如图，延长CD，BA，相交于点E.在△EBC中，∵∠B＝90°，∠C＝30°，∴∠E＝90°－30°＝60°，CE＝2BE.又∵∠ADC＝120°，∴∠ADE＝60°.∴△ADE是等边三角形．设AD＝x，则DE＝AE＝x，∴CE＝8＋x，BE＝2＋x，∴8＋x＝2(2＋x)，解得x＝4.∴AD的长为4 类型之三　巧作辅助线构造等腰三角形 方法1：平行平分构造等腰三角形 技巧点拨：利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形；作腰的平行线构造等腰三角形；作边的平行线构造等腰三角形． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交BC于点D，交AC的延长线于点F，且BE＝CF.求证：DE＝DF. 方法2：截长补短构造等腰三角形 技巧点拨：对于线段和差问题，利用“截长补短”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化． 7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝AD＋BC. 证明：方法一：(截长法)，如图①，在AB上截取BE＝BC，连接ED，易证△BCD≌△BED，∴∠DEB＝∠ACB＝108°.又∵∠A＝∠ABC＝36°，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∴AD＝AE，∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD. 方法二：(补短法)，如图②，延长BC至点F，使BF＝AB，连接FD，证AD＝DF＝CF即可 方法3：运用倍角关系构造等腰三角形 技巧点拨：遇到二倍角的问题，利用“角的折半、加倍法”，添加辅助线． 8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC. 类型之一　在等腰(边)三角形中作底边上的高 技巧点拨：遇等腰三角形时，常利用“三线合一”这一性质，若已知图中无此线，可将其构造出来以辅助解决问题(实际操作中常作底边上的高，再证底边上的中线或顶角平分线). 1．如图，AB＝AC，CE⊥AE于点E，CE＝ eq \f(1,2) BC，点E在△ABC外， 求证：∠ACE＝∠B. 证明：过点A作AF⊥BC于点F，∵AB＝AC，∴BF＝CF，∴CE＝ eq \f(1,2) BC＝BF. ∵CE⊥AE，∴∠AEC＝∠AFB＝90°，∴由勾股定理得AF＝AE， 在△ABF和△ACE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝AE，,AB＝AC，,BF＝CE，)) ∴△ABF≌△ACE(SSS)， ∴∠ACE＝∠B 证明：过点E作EF⊥AC于点F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝ eq \f(1,2) AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAE和△FAE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AF，,∠BAD＝∠CAD，,AE＝AE，)) ∴△ABE≌△AFE(SAS)， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB 解：如图，过点C作BA的垂线，交BA的延长线于点D. ∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵AC＝2，CD是AB边上的高，∴CD＝ eq \f(1,2) AC＝ eq \f(1,2) ×2＝1. ∴AB边上的高是1 5．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝120°， 线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点G，且AD＝8 cm. 求证：AD＝ eq \f(1,2) DC. 证明：连接BD.∵∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°. ∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝30°. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝120°，∴∠DBC＝90°. 在Rt△DBC中，∠C＝30°，∴BD＝ eq \f(1,2) DC，∴AD＝ eq \f(1,2) DC 证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝GE. 又∵BE＝CF