第七章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

章末总结 网络建构 知识辨析 判断下列命题是否正确.(正确的在(　)里打“√”,错误的打“×”) (1)若sin α=sin β,则α=β.(　　) (2)y=sin|x|是偶函数.(　　) (3)若sin α>0,则角α的终边在第一或第二象限.(　　) (4)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　) (5)若sin x>,则x>.(　　) (6)将函数y=sin ωx的图像向右平移(>0)个单位,得到函数y=sin(ωx+)的图像.(　　) (7)在区间[-,]上,满足条件sin x=a(-1≤a≤1)的x有1个.(　　) (8)在区间[0,2π]上,满足条件sin x=a(-1≤a≤1)的x有2个.(　　) (9)在区间[0,2π]上,满足条件cos x=a(-1≤a≤1)的x有2个.(　　) (10)在区间(-,)上,满足条件tan x=a(a∈R)的x只有1个.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)× (6)×　(7)√　(8)×　(9)×　(10)√ 　任意角的三角函数的定义 [典例1] (1)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-,则m的值为(　　) A.- B. C.- D. (2)已知P(-2,y)是角θ终边上一点,且sin θ=-,则cos θ=　　　　.  解析:(1)由题意知P(-8m,-3), 且cos α=-, 所以r=, 所以cos α==-,且m>0, 所以m2=, 所以m=. 故选B. (2)因为sin θ=-, 所以角θ终边与单位圆的交点为 (cos θ,sin θ)=(±,-). 又因为P(-2,y)是角θ终边上一点, 所以cos θ<0, 所以cos θ=-. 答案:(1)B　(2)- 利用三角函数定义求函数值的方法: 当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时,一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值,再求其他.但当角经过的点不固定时,需要进行分类讨论. 求与正切函数有关问题时,不要忽略正切函数自身的定义域. 　三角函数的化简求值 [典例2] (1)化简等于(　　) A.tan α B. C.-tan α D.- (2)已知α是第三象限角,且f(α)=. ①化简f(α); ②若tan(π-α)=-2,求f(α)的值. (1)解析:原式====.故选B. (2)解:①f(α)= =-cos α. ②由已知得tan α=2,=2,sin α=2cos α,sin2α=4cos2α,1-cos2α=4cos2α,cos2α=.因为α是第三象限角,所以cos α<0, 所以cos α=-,所以f(α)=-cos α=. 化简、求值、证明问题中的“三变”: (1)变角:三角变换时,通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆角、凑角等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等. 　三角函数的图像及变换 [典例3] 已知函数f(x)=3sin(2x+). (1)用“五点法”画出函数y=f(x)在一个周期内的简图; (2)说明函数y=f(x)的图像可以通过y=sin x的图像经过怎样的变换得到; (3)若f(x0)=,x0∈[2π,3π],写出x0的值. 解:(1)列表: 2x+ 0 π 2π x - f(x) 0 3 0 -3 0 描点、连线,如图所示. (2)将函数y=sin x的横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得到y=3sin x的图像,再将得到的图像向左平移个单位,得到y=3sin(x+)的图像,再将得到的图像的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到y=3sin(2x+)的图像. (3)因为f(x0)=, 所以3sin(2x0+)=⇒sin(2x0+)=, 2x0+=2kπ+,k∈Z或2x0+=2kπ+,k∈Z, 即x0=kπ,k∈Z或x0=kπ+,k∈Z. 又因为x0∈[2π,3π], 所以x0的值为2π或3π或. (1)由函数y=sin x的图像变换得到y=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图像的步骤: (2)对称变换: ①y=f(x)的图像y=-f(x)的图像; ②y=f(x)的图像y=f(-x)的图像; ③y=f(x)的图像y=-f(-x)的图像. 　三角函数图像与性质 [典例4] 已知函数f(x)=2sin(+)(0<<π). (1)当=时,用“五点法”作出函数f(x)在[-,]上的图像; (2)若函数f(x)为偶函数,求的值; (3)在(2)的条件下,求函数在[-π,π]上的单调递减