7.4 数学建模活动 周期现象的描述-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.4　数学建模活动:周期现象的描述 学习目标 1.了解生活中的周期现象,知道可以利用三角函数模型描述. 2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 三角函数模型的应用 (1)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化的规律、预测其未来等方面都发挥着重要作用.实际问题通常涉及复杂的数据,因此往往需要用到计算器或计算机. (2)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注意从复杂的实际背景中抽取基本的数学关系,而且还要调动相关学科知识来解决问题. (3)建立三角函数模型的步骤如下: 　三角函数在生活中的应用 [例1] 已知某海滨浴场的海浪高度y(单位:m)是时间t(单位:h)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的图像可近似地看成是函数y=Acos ωt+b的图像. (1)根据以上数据,求其最小正周期、振幅及函数解析式; (2)根据规定,当海浪高度大于1 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行活动? 解:(1)由题表中数据可知,T=12, 所以ω=. 当t=0时,y=1.5, 所以A+b=1.5; 当t=3时,y=1.0, 得b=1.0, 所以振幅A=, 所以函数解析式为y=cos t+1(0≤t≤24). (2)因为当y>1时,才对冲浪爱好者开放, 所以y=cos t+1>1,cos t>0, 所以2kπ-<t<2kπ+(k∈Z), 即12k-3<t<12k+3(k∈Z). 又0≤t≤24, 所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24,则9<t<15, 所以在规定时间内只有6 h可供冲浪爱好者进行活动. 解三角函数应用问题的基本步骤: 提醒:关注实际意义,求准定义域. [针对训练] 某港口水深y(单位:m)是时间t (0≤t≤24,单位:h)的函数,下面是水深数据: t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示,经拟合,该曲线可近似地看成正弦函数模型y=Asin ωt+B的图像. (1)试根据数据表和曲线,求出y=Asin ωt+B的解析式; (2)一般情况下,船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m是安全的,如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7 m,那么该船在什么时间段能够安全进港?若该船欲当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过多长时间?(忽略离港所用的时间) 解:(1)从拟合的曲线可知,函数y=Asin ωt+B的一个周期为12 h,因此ω==. 又ymin=7,ymax=13,所以A=(ymax-ymin)=3, B=(ymax+ymin)=10, 所以此函数的解析式为y=3sin t+10(0≤t≤24). (2)由题意,得水深y≥4.5+7, 即y=3sin t+10≥11.5,t∈[0,24], 所以sin t≥, 所以t∈[2kπ+,2kπ+],k=0,1, 所以t∈[1,5]或t∈[13,17], 所以该船在1:00至5:00或13:00至17:00能安全进港. 若欲于当天安全离港,它在港内停留的时间最多不能超过16 h. 　三角函数在物理中的应用 [例2] 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为s=4sin(2t+),t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题: (1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少? (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? 解:列表如下: t - 2t+ 0 π 2π Sin(2t+) 0 1 0 -1 0 s 0 4 0 -4 0 描点、连线,如图所示. (1)将t=0代入s=4sin(2t+),得s=4sin =2(cm). 所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 处理物理学问题的策略: (1)常涉及的物理学问题有单