7.2.4 第1课时 诱导公式(一)-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式(一) 学习目标 1.掌握π±α,-α的终边与角α的终边的对称性. 2.借助单位圆推导出诱导公式一～四. 3.理解诱导公式一～四的结构特征及记忆方法,并会用以上公式解决三角函数化简、求值、证明问题. 1.诱导公式一 sin(α+k·2π)=sin α,  cos(α+k·2π)=cos α,  tan(α+k·2π)=tan α,其中k∈Z.  2.角的旋转对称 一般地,角α的终边和角β的终边关于角的终边所在的直线对称. 3.诱导公式二 (1)角-α与角α的终边关于 x轴对称. 如图所示. (2)公式:sin(-α)=-sin α.  cos(-α)=cos α.  tan(-α)=-tan α.  4.诱导公式三 (1)角π-α与角α的终边关于 y轴对称. 如图所示. (2)公式:sin(π-α)=sin α,  cos(π-α)=-cos α,  tan(π-α)=-tan α.  5.诱导公式四 (1)角π+α与角α的终边关于原点对称. 如图所示. (2)公式:sin(π+α)=-sin α,  cos(π+α)=-cos α,  tan(π+α)=tan α.  思考:诱导公式中角α只能是锐角吗? 答案:诱导公式中角α可以是任意角,要注意正切函数中要求α≠kπ+,k∈Z. (1)诱导公式的作用 公式一:把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0～2π角的同名三角函数值问题. 公式二:用正角的三角函数值表示负角的三角函数值. 公式三、四:把0～2π间角的三角函数值转化为0～间角的三角函数值. (2)诱导公式记忆规律 公式一～四归纳:α+2kπ(k∈Z),-α,π±α的三角函数值等于角α的同名三角函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号,简记为“函数名不变,符号看象限”. 　给角求值 [例1] 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°;(2)sin π; (3)sin(-);(4)cos(-1 920°). 解:(1)cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-. (2)sin =sin(2π+)=sin =sin(π-)=sin =. (3)sin(-)=-sin(6π+)=-sin =-sin(π+)=sin =. (4)cos(-1 920°)=cos 1 920°=cos(5×360°+120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”:用公式一或二来转化. (2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”:用公式三或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. [针对训练] 计算:(1)sin 750°=　　　　,cos(-2 040°)=　　　　;  (2)sin(-)-cos(-)=　　　　.  解析:(1)sin 750°=sin(2×360°+30°)=sin 30°=. cos(-2 040°)=cos 2 040°=cos(5×360°+240°)=cos 240°=cos(180°+60°)=-cos 60°=-. (2)原式=-sin -cos =-sin(4π+π+)-cos(2π+π+) =sin +cos=+=1. 答案:(1)　-　(2)1 [备用例1] 求下列各三角函数值. (1)sin(-π); (2)cos π; (3)sin[(2n+1)π-π](n∈Z). 解:(1)sin(-π)=-sin π=-sin(2π+π) =-sin π=-sin(π-) =-sin =-. (2)cosπ=cos(2π+π) =cos(π+)=-cos=-. (3)sin[(2n+1)π-π]=sin[2nπ+(π-π)] =sin =. 　化简求值 [例2] 化简:(1); (2). 解:(1)原式= ===1. (2)原式== ==-1. 利用诱导公式一～四化简时应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的. (2)化简时,函数名没有改变,但一定要注意函数的符号有没有改变. (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简,一般采用切化弦,有时也将弦化切. [针对训练] 化简下列各式. (1); (2). 解:(1)原式=·==-=-tan α. (2)原式= = == =-1. 　给值(或式)求值 [例3] (1)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若 sin α=,则 sin β=　　　　;  (2)已知cos(-α)=,求cos(+α)-sin2(α-)的值. (1)解析:α与β的终边关于y轴