7.2.4 第2课时 诱导公式(二)-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习全书word（人教B版2019）

第2课时　诱导公式(二) 学习目标 1.掌握±α的终边与角α的终边的对称性. 2.借助单位圆推导出诱导公式五～八. 3.理解诱导公式五～八的结构特征及记忆方法,并会用公式解决三角函数化简、求值、证明问题. 1.诱导公式五 (1)角-α与角α的终边关于角的终边所在直线对称,如图所示. (2)公式:sin(-α)=cos α,cos(-α)=sin α.  2.诱导公式六 (1)+α=π-(-α). (2)公式:sin(+α)=cos α,cos(+α)=-sin α.  3.诱导公式七、八 (1)公式七:cos(+α)=sin α,  sin(+α)=-cos α.  (2)公式八:cos(-α)=-sin α,  sin(-α)=-cos α.  八组诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”的诱导公式. 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性.当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中把α看成锐角时原函数值的符号,而不是α角的函数值的符号. 　利用诱导公式化简 [例1] 化简: (1)+. (2). 解:(1)原式=+ =+ =+ = ==. (2)原式===-cos α. 利用诱导公式化简三角函数式的步骤 利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”. [针对训练] 化简: (1)·sin(α-)·cos(+α); (2)sin(-α-5π)cos(α-)-sin(+α)·cos(α-2π). 解:(1)原式=·sin[-(-α)]·(-sin α) =·[-sin(-α)](-sin α) =·(-cos α)(-sin α) =-cos2α. (2)原式=sin(-α-π)cos[-(-α)]+cos α·cos α =sin[-(α+π)]cos(-α)+cos2α =-sin(α+π)sin α+cos2α =sin2α+cos2α =1. [备用例1] 化简cos2(-α)+cos2(+α)=　　　　.  解析:原式=sin2[-(-α)]+cos2(+α)=sin2(+α)+cos2(+α)=1. 答案:1 　利用诱导公式证明 [例2] 求证: =1. 证明:左边==1=右边. 所以原式成立. 三角恒等式的证明策略 对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推到右边或从右边推到左边,也可以用左右归一、变更论证的方法.常用定义法、切化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法. [针对训练] 求证: =-tan α. 证明:左边= = =-tan α =右边. 所以原等式成立. [备用例2] 在△ABC中,sin=sin,试判断△ABC的形状,并证明. 解:△ABC是等腰三角形.证明如下: 因为A+B+C=π, 所以A+B-C=π-2C,A-B+C=π-2B. 因为sin=sin, 所以sin=sin, 所以sin(-C)=sin(-B), 即cos C=cos B. 又因为B,C为△ABC的内角, 所以C=B, 所以△ABC为等腰三角形. 　利用诱导公式求值 [例3] (1)已知cos 31°=m,则sin 239°tan 149°的值是(　　) A. B. C.- D.- (2)已知cos(π+α)=-,α为第一象限角,则cos(+α)的值为　　　　.  (3)已知sin(-α)=,则cos(+α)的值为　　　　.  解析:(1)sin 239°tan 149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)= -cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°==.故选B. (2)因为cos(π+α)=-cos α=-, 所以cos α=, 又α为第一象限角, 则cos(+α)=-sin α=-= -=-. (3)cos(+α)=cos[-(-α)] =sin(-α)=. 答案:(1)B　(2)-　(3) 利用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题,一般遵循诱导公式先行的原则,即先用诱导公式化简变形,达到角的统一,再进行切化弦,以保证三角函数名最少. (2)对于π±α和±α这两套诱导公式,切记运用前一套公式不变名,而运用后一套公式必须变名. [针对训练] (1)已知cos(+α)=,则 +=　　　　;  (2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°+sin290°的值等于　　　　.  解析:(1)原式=+= -sin α-sin α=-2sin α. 又cos(+α)=, 所以-sin α=. 所以原式=-2sin α=. (2)因为s