8.1.1 向量数量积的概念-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第三册同步全程学习课件PPT（人教B版2019）

第八章　向量的数量积与三角恒等变换 8.1　向量的数量积 8.1.1　向量数量积的概念 数学 学习目标 1.理解两个向量夹角的定义与数量积的定义. 2.理解向量的投影与向量数量积的几何意义. 3.掌握数量积的性质与向量垂直的条件. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 思考1:两个非零向量的夹角的取值范围是什么?求作两个非零向量的夹角时,应该注意什么问题? 答案:两个非零向量的夹角的取值范围是[0,π].求作两个非零向量的夹角时,要使两个向量的起点相同(或重合). [0,π] ∠AOB <a,b> 数学 2.向量的数量积 (1)定义:一般地,当a与b都是非零向量时,称 为向量a与b的 (也称为 ),记作 ,即 . (2)向量数量积的性质: ①|a·b| |a||b|; ②a·a= ,即|a|= ; ③a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0,即 . 思考2:向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同?零向量与任一向量的数量积是多少? 答案:数量积的运算结果是实数,线性运算的运算结果是向量.我们规定,零向量与任一向量的数量积为0. |a|·|b|cos<a,b> 数量积 内积 a·b a·b=|a||b|cos<a,b> ≤ |a|2 a⊥b⇔a·b=0 数学 投影向量 投影 共线 数学 (2)投影的数量: 一般地,如果a,b都是非零向量,则称 为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关,但是投影的数量既可能是非负数,也可能是负数. (3)向量数量积的几何意义: 两个非零向量a,b的数量积a·b,等于 与 . 的乘积. |a|cos<a,b> a在向量b上的投影的数量 b的模 数学 拓展总结 (2)两个向量的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立;两个向量的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立. (3)两个向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当 a=0 或b=0或θ=90°时).在书写数量积时,向量a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,更不能省略不写. (4)向量b在a上的投影不是数量而是向量,它的符号取决于<a,b>,注意a在b上的投影与b在a上的投影是不同的,应结合图形加以区分. 数学 师生互动·合作探究 探究点一 求向量的夹角 数学 答案:(1)C 数学 数学 方法总结 数学 答案:(1)120° 数学 答案:(2)90° 数学 探究点二 数量积的有关概念 解析:A正确,B正确. C错误.当a与b为非零向量,且a⊥b时,a·b=0. D错误.当a与b同向时,a·b>0; 当a与b反向时,a·b<0.故选AB. 数学 方法总结 求解此类问题一般需要准确理解相关概念与性质,对于不正确的命题要举出适当的反例进行说明. 数学 解析:只有③⑥正确. 故选D. 数学 探究点三 求两向量的数量积 解:(1)当a∥b时,若a与b同向, 则它们的夹角为0°, 所以a·b=|a||b|cos 0°=5×2×1=10; 若a与b反向,它们的夹角为180°, 所以a·b=|a||b|cos 180°=5×2×(-1)=-10. 数学 (2)当a⊥b时,它们的夹角为90°, 所以a·b=|a||b|cos 90°=5×2×0=0. 数学 方法总结 求平面向量数量积的步骤: (1)求<a,b>,且<a,b>∈[0,π]; (2)分别求|a|和|b|; (3)代入公式a·b=|a|·|b|cos<a,b>. 数学 数学 探究点四 向量的投影与数量积的几何意义 数学 方法总结 数学 数学 学海拾贝 向量数量积应用中的逻辑推理 逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证,是人们在数学活动中进行交流的基本思维品质.应用向量数量积可以判断三角形或四边形的形状,进一步提高在解题过程中逻辑推理的核心素养. 数学 数学 思路点拨 数学 数学 答案:② 数学 当堂检测 C 解析:当e1,e2同向时,e1·e2=|e1||e2|cos<e1,e2>=1×1×cos 0°=1;当e1,e2反向时,e1·e2=|e1|·|e2|cos<e1,e2>=1×1×cos 180°=-1.故选C. 数学 C 数学 答案:1 数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破