第29期 1.3直角三角形全等的判定 1.4角平分线的性质（答案见31期）-【数理报】2022-2023学年八年级下册初二数学同步学案（湘教版）

书 　　“ＨＬ”是一种特殊的判定直角三角形全等的方法， 尽管它只能在直角三角形中施展拳脚，但很多题的顺利 解答都依赖于它．下面就让我们一起欣赏吧！ 一、“ＨＬ”携手高线证明线段垂直 例１　 如图 １，ＡＤ是 △ＡＢＣ的 高，Ｅ为ＡＣ上一点，连接ＢＥ交ＡＤ于 点Ｆ，且ＢＦ＝ＡＣ，ＦＤ＝ＣＤ． 求证：ＢＥ⊥ＡＣ． 分析： 由 题 中 条 件 可 证 得 Ｒｔ△ＢＤＦ≌Ｒｔ△ＡＤＣ，然后得出对应角相等，再根据高 线，通过角度之间的转化，进而可得出结论． 证明：因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高， 所以∠ＡＤＣ＝∠ＢＤＦ＝９０°． 在Ｒｔ△ＢＤＦ和 Ｒｔ△ＡＤＣ中，因为 ＢＦ＝ＡＣ，ＦＤ＝ ＣＤ， 所以Ｒｔ△ＢＤＦ≌Ｒｔ△ＡＤＣ（ＨＬ）． 所以∠Ｃ＝∠ＢＦＤ． 因为∠ＤＢＦ＋∠ＢＦＤ＝９０°，所以∠Ｃ＋∠ＤＢＦ＝ ９０°． 所以∠ＢＥＣ＝９０°． 所以ＢＥ⊥ＡＣ． 二、“ＨＬ”携手线段的垂直平分线证明角平分线 例２　如图２，Ａ，Ｂ两点分别在 射线ＯＭ，ＯＮ上，ＣＦ垂直平分ＡＢ，交 ＡＢ于点Ｆ，ＣＤ⊥ＯＭ，ＣＥ⊥ＯＮ，垂 足分别为Ｄ，Ｅ，且ＡＤ＝ＢＥ． 求证：ＯＣ平分∠ＭＯＮ． 分析：连接ＣＡ，ＣＢ，根据线段垂 直平分线的性质可得ＣＡ＝ＣＢ，进而可证得Ｒｔ△ＢＣＥ≌ Ｒｔ△ＡＣＤ，进而可得ＣＤ＝ＣＥ，即ＯＣ平分∠ＭＯＮ． 证明：如图２，连接ＣＡ，ＣＢ． 因为ＣＦ垂直平分ＡＢ，所以ＣＡ＝ＣＢ． 因为ＣＤ⊥ＯＭ，ＣＥ⊥ＯＮ， 所以∠ＣＤＡ＝∠ＣＥＢ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＣＤ和 Ｒｔ△ＢＣＥ中，因为 ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＥ，所以Ｒｔ△ＡＣＤ≌Ｒｔ△ＢＣＥ（ＨＬ）． 所以ＣＤ＝ＣＥ． 所以ＯＣ平分∠ＭＯＮ． 三、“ＨＬ”携手角平分线求角度 例３　如图３，ＢＰ平分∠ＡＢＣ，Ｄ 为ＢＰ上一点，Ｅ，Ｆ分别在ＢＡ，ＢＣ上， 且满足ＤＥ＝ＤＦ．若∠ＢＥＤ＝１４０°， 则∠ＢＦＤ的度数是 （　　） Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．６０° Ｄ．７０° 分析：过点Ｄ作ＤＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，ＤＨ⊥ＢＣ于点Ｈ， 根据角平分线的性质定理得到 ＤＨ ＝ＤＧ，然后根据 “ＨＬ”可证得Ｒｔ△ＤＥＧ≌Ｒｔ△ＤＦＨ，进而得到∠ＤＥＧ＝ ∠ＤＦＨ，然后根据邻补角的定义即可得到答案． 解：如图３，过点Ｄ作ＤＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，ＤＨ⊥ＢＣ于 点Ｈ． 因为Ｄ是∠ＡＢＣ的平分线上一点，ＤＧ⊥ＡＢ，ＤＨ⊥ ＢＣ，所以ＤＧ＝ＤＨ． 在Ｒｔ△ＤＥＧ和Ｒｔ△ＤＦＨ中，因为 ＤＥ＝ＤＦ，ＤＧ＝ ＤＨ，所以Ｒｔ△ＤＥＧ≌Ｒｔ△ＤＦＨ（ＨＬ）． 所以∠ＤＥＧ＝∠ＤＦＨ． 因为∠ＢＥＤ＝１４０°，所以∠ＢＦＤ＝∠ＤＥＧ＝１８０° －∠ＢＥＤ＝４０°． 故选Ａ． 书 !"#$%&'()*+,- ， ./01234" 56789'()*+:; ． ! 、 "#$%&'()*+, - １　 <= １， > Ａ，Ｂ，Ｃ ?@ABCD+)*E? FG ， HI(J?@CDKLMN6@OPQR ， SO PQRJ Ａ，Ｃ CDKL ， T& ＡＢ，ＢＣ UVWX+YZ[ \ ， ]^_`QR Ｐ +)* ． ./ ： a_+b Ｐ cdefJ ＡＣ gT& ＡＢ，ＢＣ + YZ[\ ， hib Ｐ J∠ＡＢＣ+jklmＡＣ+nbo． <= ２． - ２　 0p １ q+ “ J Ａ，Ｃ CDKL ， T& ＡＢ，ＢＣ U VWX+YZ[\ ” rs “ & ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ ?VWX+Y Z[\ ”， ]^_`QR Ｐ +)* ． ./ ： a_+b Ｐ cdef+Vtu&△ＡＢＣ+? v+YZ[\ ． wb Ｐ & ＡＢ，ＢＣ +YZ[\xb Ｐ J ∠ＡＢＣ+jklg；wbＰ&ＡＣ，ＢＣ+YZ[\xbＰ J∠ＡＣＢ+jklg．hibＰJ∠ＡＢＣm∠ＡＣＢ+j kl+nbo ， <= ３． 0 、 1#'234%&'()*5$%&'()* +, - ３　 0p １ q+ “ J Ａ，Ｃ CDKL ” rs “ & Ｂ，Ｃ U@ABCD+YZ[\ ”， ]^_`QR Ｐ +)* ． ./ ： wyz ， xb Ｐ & ＡＢ，ＢＣ +YZ[\T&b Ｂ，Ｃ +YZ{[\ ． wb Ｐ & ＡＢ，ＢＣ +YZ[\xb Ｐ J∠ＡＢＣ+jklg；wbＰ&bＢ，Ｃ+YZ[\xb Ｐ Jl| ＢＣ +}~jklg ． hib Ｐ J∠ＡＢＣ+jk lml| ＢＣ +}~jkl+nbo ， <= ４． 678 ： '()*$€+:;u‚_=; ， ƒ „:;…†‡ˆ ， ‰Š;‹ŒŽ ， a34"a‘ ’.+‚_=:; ， “a”•–€—˜=G+™š ． 书 我们知道，斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等．在利用这个定理解决问题时，要注意三个 方面． 一、“ＨＬ”必须在直角三角形中使用 “ＨＬ”只适用于直角三角形的判定，对