第3章 数学建模活动(二)-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）

§1　自主数学建模的准备 §2　自主数学建模的开题 学习目标 通过建筑物高度测量的数学建模活动,体会正弦、余弦定理在实际生活中的应用,提高数学抽象与数学建模的核心素养. 　两点间的距离 [例1] (2021·湖南长沙高三月考)为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”的冈仁波齐山峰的高度,采用人工攀登的方式进行测量,测量人员从山脚开始,直到到达山顶分段测量,最后将所有的高度差累加,得到山峰的高度,在测量过程中,已知竖立在B点处的测量觇标高10 m,测量人员在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°,80°(如图),则A,B两点的高度差约为(　　) (最后结果精确到0.01 m,参考数据:sin 10°≈0.173 6,sin 70°≈0.939 7,sin 80°≈0.984 8) A.10 m B.9.66 m C.9.40 m D.8.66 m 解析:如图所示,在△ABC中,由正弦定理可得=, 由∠BAC=∠DAC-∠BAD=10°,∠ACD=90°-∠CAD=10°, 所以AB=BC=10 m, 在Rt△ADB中, BD=ABsin ∠BAD=10sin 70°≈9.40(m). 故选C. 山顶上的小塔的高度就是塔顶与塔底之间的高度差.基本的思路方法就是把高度差抽象为与水平面垂直的线段,把该线段归入三角形中,通过三角形的其他元素求得该线段的长度. [针对训练] (2021·安徽高三月考)在某大学校园中有一座雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3 m,则像体AD的高度约为(　　) (最后结果精确到0.1 m,参考数据:sin 70.5°≈0.943,cos 70.5°≈0.334,tan 70.5°≈2.824) A.4.0 m B.4.2 m C.4.3 m D.4.4 m 解析:在Rt△BCD中, BC==2.3(m), 在Rt△ABC中, AC=BCtan ∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(m), 所以AD=AC-CD≈6.5-2.3≈4.2(m). 故选B. 　航空测量问题 [例2] (2021·陕西榆林高二月考)要航测某座山的海拔高度,如图,飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内,已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m,速度为900 km/h,航测员先测得对山顶的俯角为30°,经过40 s(已飞过M点)后,又测得对山顶的俯角为45°,求山顶的海拔高度.(精确到1 m)(可能要用到的数据:≈1.414,≈1.732,≈2.450,sin 105°=) 解:因为900 km/h=250 m/s, 所以AB=250×40=10 000(m), 在△ABM中,由正弦定理得=,BM=. 作MD⊥AB于点D(如图),则MD=BMsin 45°=×sin 45°=5 000(-1)≈3 660(m), 所以山顶的海拔高度为10 000-3 660=6 340 (m). 求解航空中的测量问题的方法 (1)在处理有关航空中的测量问题时,要准确理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)的概念. (2)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题. [针对训练] (2021·河南高二期中)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的飞行高度为海拔15 000 m,速度为1 000 km/h,飞行员先测得对山顶的俯角为18°,经过108 s后又测得对山顶的俯角为78°,则山顶的海拔高度为(　　) A.(15-18sin 18°cos 78°) km B.(15-18sin 18°sin 78°) km C.(15-20sin 18°cos 78°) km D.(15-20sin 18°sin 78°) km 解析:如图,∠A=18°,∠ACB=78°-18°=60°, 因为108 s=0.03 h, 所以AB=1 000×0.03=30(km). 在△ABC中,由正弦定理可得=, 可得BC==20sin 18°, 因为CD⊥AD, 所以C到AB边的距离为CD=BCsin ∠CBD=BCsin 78°=20sin 18°sin 78°,所以山顶的海拔高度为(15-20sin 18°sin 78°) km. 故选D. 1.如图,山坡AC与水平面AB成30°的角,沿山坡AC每往上爬100 m,则竖直高度上升(　D　) A.30 m B.50 m C.50 m D.50 m 解析:依题意可知BC=ACsin 30°=100×=50(m).故选D. 2.某人在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°,又知水平距离BD=10 m,楼高AB=24 m,则树高CD为(　A　) A.(