第3章 1 给定问题的数学建模活动 2 自主数学建模的选题 3 自主数学建模的开题(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦数学建模活动这一核心知识点，系统梳理从给定问题建模到自主选题、开题的完整脉络，以建筑物高度测量为具体案例，提供测量方法示例、课题报告表及结题报告提纲等学习支架。 该资料以真实情境驱动，通过“测量教学楼高度”等任务引导学生经历选题、建模、求解、分析的完整过程，多种测量方法（如影长比例、光的反射）培养数学思维与推理能力，报告表与误差分析环节强化数学语言表达与应用意识。课中助力教师引导学生实践探究，课后帮助学生梳理过程、查漏补缺，提升数学建模核心素养。

§1　给定问题的数学建模活动　§2　自主数学建模的选题　§3　自主数学建模的开题 一、以建筑物的高度测量为例 数学建模活动的准备 目的　运用所学知识解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程.组织学生通过分组、合作等形式，完成选题、开题、做题、结题四个环节. 情境　给出下面的测量任务： （1）测量本校的一座教学楼的高度； （2）测量本校的旗杆的高度； （3）测量学校院墙外的一座不可及，但在学校操场上可以看得见的物体的高度. 可以每2～3个学生组成一个测量小组，以小组为单位完成；各人填写测量课题报告表（见下表）. 测量课题报告表 项目名称：　　　　　　　 完成时间：　　　　　　　 1.成员与分工 姓名 分工 2.测量对象 例如，某小组选择的测量对象是：旗杆、教学楼、校外的××大厦. 3.测量方法（请说明测量的原理、测量工具、创新点等） 4.测量数据、计算过程和结果（可以另外附图或附页） 5.研究结果（包括误差分析） 6.简述工作感受 二、自主数学建模的开题交流 以教学楼高度的测量为例 试题　测量一幢学校教学楼的高度，要求不能爬到楼顶去测量，要通过所学的数学知识进行测量与计算；三人一组，分工讨论，提出测算方案，分工合作完成测量，及时记录好测量数据并减小误差；不限定任何测算方法、工具；允许各组组内分工准备相应的测量工具（可以自制一些简单的测量工具），相互合作、组内讨论或通过互联网查阅相关资料. （一）模型准备 1.查阅相关文献、资料和书籍，寻找合适的测量方法. 2.结合数学知识，建立数学模型，并进行数学运算，求解模型. 3.准备测量工具. （二）模型假设 　假设测量工具的精度符合要求. （三）模型建立与求解 方法一：“楼与人”的测量依据和方法.如图①，教学楼是实物，有实际高度、有影子长度；人有高度，同样是实物，也有影长，测出人的身高、影长和教学楼的影长，列出比例式就可以算出教学楼的高度.AB是教学楼的高度（未知），DE是一位同学的身高，为1.64米，EF表示该同学的影长为1.95米，并量得教学楼的影长BC为13.6米，算出教学楼的高度AB约为11.44米. 方法二：“楼与竹竿”的测量依据和方法.如图②，原理和方法一差不多，用事先准备好的竹竿，在教学楼的影子上来回移动竹竿，直到看到竹竿的影子的顶端与教学楼影子的顶端重合.量出竹竿长DE为2.0米，竹竿影子长EC为2.39米，教学楼影子长BC为14.42米，列出比例式计算出教学楼的高度约为12.07米. 方法三：“光的反射原理”的测量依据和方法.如图③，根据光的反射原理，学生在离教学楼一段距离的地面上放一面镜子，然后人前后移动，直到在镜子里看到教学楼顶端.量出教学楼到镜子的距离BC为16.3米，学生到镜子的距离CE为2.07米，该学生的眼睛到地面的高度DE为1.49米，算出教学楼的高度约为11.73米. 方法四：“楼、人眼与标杆”的测量依据和方法.如图④，该测量方法是在教学楼和一位同学之间放一标杆，人前后移动，使眼睛、标杆顶端和教学楼顶端三点共线，量出DE高为0.84米，GE长为2.11米，GC长为28.51米，人的眼睛到地面的高度GH为1.54米，算出教学楼的高度约为12.89米. 其他方法：还有同学提出用解直角三角形的方法测算出教学楼的高度，但是在实际的测量过程当中，地面和视线的夹角难以得到60°，45°，30°的准确值. （四）模型分析 　同学们求解的结果各不相同，下面进一步分析产生这种结果的原因： （1）测量误差：学生自制的测量工具较为粗糙，测量不够准确.另外，学生利用测量工具测出的数据会有测量误差； （2）间距差的问题：如果间距差的值选定较小，两次测量的角度差就会很小，将会导致计算结果产生较大误差； （3）高度选取不对：存在部分学生用“身高”代替“眼高”，导致误差较大. （五）模型检验与应用 　根据建筑物的实际高度和测量高度进行比较，即可得知采用的测量方法是否合适.利用测量学校教学楼的方法还可以测量一些其他建筑物或旗杆的高度，为今后学生测量其他物品提供了参考依据和理论基础. 三、结题报告参考提纲 主题、项目 内容、表述 问题、背景、意义 解决问题的方法和得到的结果 前期的学习、资料和工具的准备 假设、分析、建模、求解的主要过程 对结果的解读和分析 小组成员的分工和各自的主要贡献 工作的收获或感受，得到的帮助和致谢 主要参考文献 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $