第11讲 圆锥曲线的综合应用与新定义（八种题型）-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）

第11讲 圆锥曲线的综合应用与新定义（八种题型） 【热点、重难点题型】 题型一：弦长问题 一、单选题 1．（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东菏泽·统考一模）过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（    ） A． B． C．1 D．16 二、多选题 3．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知F是抛物线的焦点，点在抛物线W上，过点F的两条互相垂直的直线，分别与抛物线W交于B，C和D，E，过点A分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则（    ） A．四边形面积的最大值为2 B．四边形周长的最大值为 C．为定值 D．四边形面积的最小值为32 三、填空题 4．（2023·陕西榆林·统考一模）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线相交于两点，点，以为直径的圆与相交于两点，若为线段的中点，则__________. 5．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知椭圆C:的离心率为，F是左焦点，过F且倾斜角为45°的直线交C于点A，B．设M，N分别是AF和BF的中点，O为坐标原点，若，则的面积为______． 四、解答题 6．（2023·陕西西安·统考一模）设抛物线的焦点为，，Q在准线上，Q的纵坐标为，点M到F与到定点的距离之和的最小值为4． (1)求抛物线C的方程； (2)过F且斜率为2的直线l与C交于A、B两点，求的面积． 7．（2023秋·江苏·高三统考期末）如图，已知椭圆的左､右顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，过原点平行于的直线与椭圆交于点的中点为点，直线与椭圆交于点，点在轴的上方. (1)当时，求； (2)求的最大值. 8．（2023·广东深圳·统考一模）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点． (1)当k变化时，求点M的轨迹方程； (2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由． 9．（2023春·江苏苏州·高三统考开学考试）已知抛物线的焦点也是离心率为的椭圆的一个焦点F． (1)求抛物线与椭圆的标准方程； (2)设过F的直线交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且A在B左侧，C在D左侧，A在C左侧．设，，． ①当时，是否存在直线l，使得a，b，c成等差数列？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由； ②若存在直线，使得a，b，c成等差数列，求的范围． 10．（2023·陕西咸阳·校考一模）已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与圆相切且与椭圆交于、两点，求的最大值． 11．（2020春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与动点到定直线的距离的比值为，记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程. (2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），求弦长的取值范围. 12．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点在双曲线上，的左焦点为，点到的渐近线的距离为1，过点的直线与的左支交于A，B两点． (1)求的方程； (2)作垂直于轴于点，若的外接圆圆心在轴上，求的方程． 题型二：面积问题 一、多选题 1．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）已知为坐标原点，离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，与曲线恰有三个交点，则（    ） A．椭圆的长轴长为 B．的内接正方形面积等于3 C．点在上，，则的面积等于1 D．曲线与曲线没有交点 2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的左、右焦点为，，点，，为椭圆上一动点，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的有（    ） A．若的垂直平分线过点，则 B．的最小值为 C．若，则的面积的最大值为 D．若的面积取最大值时的直线不唯一，则 二、填空题 3．（宁夏银川一中、云南省昆明市第一中学2023届高三联合考试一模数学（文）试题）椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________. 4．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆，斜率为的直线分别交轴负半轴、轴负半轴于、两点，交于、两点，点在轴上方，过点作轴的平行线交于、两点，则面积的最大值为________． 三、解答题 5．（2023春·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求C的方程； (2)经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直