平面几何中的解三角形问题-【三轮冲刺】2023年高考数学热点专题模型通关（三角篇）

平面几何中的解三角形问题 ( 思路引导 ) 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． ( 母题呈现 ) 【典例】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的值； （2）在边BC上取一点D，使得，求的值． 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得. （2）方法一：根据的值，求得的值，由（1）求得的值，从而求得的值，进而求得的值. 【解析】（1）【方法一】正余弦定理综合法 由余弦定理得，所以. 由正弦定理得. 【方法二】【最优解】：几何法 过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以． 在中，，因此． （2）【方法一】：两角和的正弦公式法 由于，，所以. 由于，所以，所以. 所以 . 由于，所以. 所以. 【方法二】【最优解】：几何法+两角差的正切公式法   在（1）的方法二的图中，由，可得，从而． 又由（1）可得，所以． 【方法三】：几何法+正弦定理法   在（1）的方法二中可得． 在中，， 所以． 在中，由正弦定理可得， 由此可得． 【方法四】：构造直角三角形法   如图，作，垂足为E，作，垂足为点G． 在（1）的方法二中可得． 由，可得． 在中，． 由（1）知，所以在中，，从而． 在中，． 所以． ( 方法总结 ) 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． ( 模拟训练 ) 1．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，已知，点E在AB上且AE=2BE，． (1)求的值； (2)求的周长． 2．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记． (1)当时，求OP的长； (2)当面积最大时，求． 3．（2023·山东日照·统考一模）已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且. (1)求角B； (2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值. 4．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且． (1)证明：； (2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值． 5．（2023·全国·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，，，AC与BD相交于点E，，. (1)求AE的长； (2)求的面积. 6．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，在中，D为边BC上一点，，，，. (1)求的大小； (2)求的面积. 7．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）如图，在梯形中，，． (1)若，求周长的最大值； (2)若，，求的值． 8．（2023·湖北·校联考模拟预测）在中，，点D在边上，. (1)若，求的值， (2)若，且点D是边的中点，求的值. 9．（2023·全国·模拟预测）如图所示，是半径为的半圆的圆心，为右端点，点是半圆上一个动点，以向外做一个等边三角形，点与点在的异侧，设. (1)若，求的长； (2)求四边形面积的最大值. 10．（2023·全国·模拟预测）如图，在中，，，，点D在边BC上，且． (1)求BD； (2)求的面积． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 平面几何中的解三角形问题 ( 思路引导 ) 与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路 求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． ( 母题呈现 ) 【典例】1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的