第13讲 最值问题（辅助圆、隐圆）的五种模型-2023年中考数学重点核心知识点专题讲+练

第13讲 最值问题之辅助圆（隐圆）的五种模型 · 模型一：点或线到圆上点的最值 动点P在圆外时，P到圆上的最小距离 最大距离 动点P在圆内时，P到圆上的最小距离 最大距离 直线和圆相离时 圆上的点到直线的最小距离为 圆上的点到直线的最大距离为 直线和圆相交时 圆上的点到直线的最小距离为0 圆上的点到直线的最大距离为 【例1】如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为________． 1．如图，正方形ABCD的边长为4，的半径为1.若在正方形ABCD内平移（可以与该正方形的边相切，则点A到上的点的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，点P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE＋PF的最小值是（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 3．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，以A、D为圆心，半径分别为2和1画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是(    ) A．5 B．6 C．7 D．8 4．如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，等边三角形ABC的边长为4，的半径为，P为AB边上一动点，过点P作的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为________． · 模型二：动点到定点距离等于定长求最值 · 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． · 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 【例2】如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A’MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是__________． 6．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，，已知中，，，的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，点A随之在边上运动，的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，已知⊙的半径为3，圆外一点满足，点为⊙上一动点，经过点 的直线上有两点、，且OA=OB，∠APB=90°，不经过点，则的最小值（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 9．如图，在中．，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是_____________． 10．如图，矩形中，，，P，Q分别是上的两个动点，，沿EQ翻折形成，连接，则的最小值是___________． 11．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离． （1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC． （2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 　 　． （3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 　 　． （4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 　 　． 12．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值． · 模型三：定长对直角求最值 · 直径所对的圆周角是直角． · 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． · 图形释义： 若AB是一条定线段，且∠APB=90°，则P点轨迹是以AB为直径的圆． 【例3】已知正方形ABCD边长为2，E、F分别是BC、CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则PD的最小值为________