专题强化训练(五)-【导与练】2023高考数学二轮复习专题强化训练word（新教材）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 专题强化训练（五） 1.(2022·河北唐山一模)已知函数f(x). (1)讨论f(x)的单调性： ②证明：f(x)≥琴 （1)解：f)的定义域为（∞，1）U(1,+o),f')瑞。 当x<-1时，f'(x)<0,f(x)单调递减：当-1<x<0时，f′(x)<0,f(x)单 调递减： 当x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增.故f(x)在(-o∞，-1)和(-1,0)上单 调递减，在(0+∞)上单调递增。 (2)证明：令g(x)=(x+1)2e1-x,x≥0， 则g'(x)=e1-x(1-x2), 所以当0≤x<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增： 当x>1时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 所以g(x)xg(1)=4,即(x+1)2e1-x≤4， 从而≥学，所以f(x)≥牛 又学型≥0， 所以学≥竖，当且仅当x1时取等号，故fx)≥琴 2.(2022·福建模拟预测)已知函数f(x)=ex-ax2-x-1. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围. 解：(1)因为f(x)=ex-x2-x-1,当x=1时，切点为(1，e-3), ·独家授权侵权必究· 学科网书城面 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 求导得f'(x)=ex-2x1,故切线斜率为f'(1)=e3,所以所求切线方 程为y-(e3)=(e-3)(x-1),即(e-3)x-y-0. (2)f(x)≥0等价于e≥ax2+x+1恒成立， 当a>0时，上式不恒成立，证明如下： 当x<0时，ex<1,当x<-是时，ax2+x+1=x(ax+1)+1>1,从而e*≥ax2+x+1 不恒成立，不符合题意： 当a≤0时，ax2+x+1≤x+1,下面先证明e*≥x+l,令h(x)=ex-x-1, 则h'(x)=ex-1, 当x<0时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x>0时，h'(x)>0,h(x)单调 递增， 所以h(x)minh(0)=0,即h(x)≥0，所以ex≥x+1,而ax2+x+1≤x+1, 故ex≥ax2+x+1, 综上，若f(x)≥0，则实数a的取值范围为(-∞，0]. 3.(2022·河北模拟预测)已知函数f(x)=x-ae,a∈R. (1)当x≥0时，讨论函数f(x)的单调性： (2)若方程f(x)=0有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2),证明：x1 +x2>2. (1)解：因为f(x)=x-aex,x≥0，所以f'(x)=1-aex ①当a≤0时，f'(x)>0,f(x)在[0，+∞)上单调递增. ②当a>0时，令f'(x)=0,解得x=ln. 当a≥1时，ln是≤0，f'(x)≤0，f(x)在[0，+∞)上单调递减； ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当0<a<1时，1n>0,当x∈(0，ln)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(1n,+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 综上，当a≤0时，f(x)在[0，+o∞)上单调递增；当a≥1时，f(x)在 [0,+∞)上单调递减： 当0<a<1时，f(x)在(0，ln)上单调递增，在(1n,+∞)上单调递减， (2)证明：由(1)可知，当a≤0时，f(x)单调递增，当a>0时，f(x)在 (-∞，l1n)上单调递增，在(1n,+∞)上单调递减.所以若方程f (x)=0有两个不相等的实数根x,x2,则a>0,且f(1n)>0,所以a∈(0， ) ae=Xy 所以 ae2=&2 即a装，a， X十82 有紫禁，有授 1e 有X1+x2 2x(1+er) eNzX1-1 令%xt(t0,有x“赞， 又由x1+Xg2-2e+t器+起 e-1 ,令gx)+1x>0), 殺 x+2 YZer 有g'(x)=+苏>0， 可知函数g(x)单调递增，有g(x)>0,故有x1+x2>2. 4.(2022·广东韶关一模)己知函数f(x)=logaX-斜，a>0且a≠1. (1)若a=e,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的零点个数 解：(1)若a=e,则f(x)1nx器，f1)0,又f'(x)是，所以 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 f'(1)=,所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y-0 (x-1),即x2y-1=0. (2)函数f6x)的定义域为(0，+∞)，又f(x)