高考题型特训 压轴大题冲刺练(二)-【导与练】2023高考数学二轮复习教师用书word（新教材）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量o.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 冲刺练（二） 1.(2022·四川泸州三模)己知函数f(x)=x3+ax,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)若g(x)=f(x)·ex有且只有一个极值点，求a的取值范围. 解：(1)由题意知，f'(x)=x2+a, 当a≤0时，因为-x2≤0，所以f'(x)=-x2+a≤0在R上恒成立，所以f (x)在(-∞，+∞)上单调递减；当a>0时，由f'(x)=-x2+a>0得x2-a<0, 所以-√a<x<√a,所以f(x)在（√a,√a)上单调递增，在（∞，√a), (√a,+∞)上单调递减， (2)g(x)=f(x)·ex(寺x3+ax)·e,g'(x)=(-青x3-x2+ax+a)·e,因 为g(x)有且只有一个极值点，即p(x)=寸x3-x2+ax+a的图象只穿过x 轴一次，即φ(x)为减函数或者p(x)的极值同号. ①当p(x)为减函数时，p'(x)=-x2-2x+a≤0在R上恒成立，则△=4+ 4a≤0，解得a≤-1： ②当p(x)的极值同号时，设x1,x2为极值点，则p(x1)p(x2)>0, p'(x)=-x2-2x+a=0有两个不同的解x1,x2,则a>-1,且有x1+x2-2, X1·X2a, 所以p(x1)=xx+ax1+a=号[(a+1)x1+a],同理p(x2)=号 [(a+1)x2+a], 所以p(x)p(x2)>0,化简得(a+1)2x1x2+a(a+1)(x1+x2)+a2>0,即-1< a<0; ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当p(x)p(x2)-0时，a=0,g'(x)=-x2(号x+1)·eX,g(x)有且只有一个 极值点， 综上，a的取值范围是(-∞，0]. 2.(202·江苏徐州新沂模拟预测)已知椭圆C:号号1(ab0)的右 顶点为A(2,0),右焦点F到右准线1的距离为3. (1)求椭圆C的标准方程： (2)经过点F和T(7,0)的圆与直线1交于P,Q两点，AP,AQ分别与椭圆 C交于点M,N.证明：直线MN经过定点 (1)解：由题意知，a=2,设椭圆的焦距为2c,则号-c-3,解得c=1,所以 b√-c√5，所以椭圆C的标准方程为浮+号1. (2)证明：设直线N的方程为xmy+n. [号+号=1 由 x=my+n, 得(3m2+4)y2+6mny+3n2-12-0,设M(x1,y1),N(x2,y2), 6mn 3n2-12 则y1十y2m平4，y1y2m44 8n 所以x1+x2m(y1+y2)+2nF3m44, X1X2=(my1+n)(my2+n)=12m 3m244 因为直线M的方程为y点(x-2, 令x4,得yp器，所以P4,器)，同理可得Q4,登)， 以Q为直径的圆的方程为x④)2+器)(y爱)0， 即x42y2(0爱)y景·爱0， 因为圆过点(，0，所以9器·登0，得9严0，所以 4 a ·独家授权侵权必究 亨学科网书城国 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 12248 9+毫器0，化简得9+60(4r2-16m+16≠0，则n≠2》， 32+4 解得n=1, 所以直线MN经过定点(1，O) ·独家授权侵权必究·