专题2 培优提能6 向量极化恒等式-【导与练】2023高考数学二轮复习教师用书word（新教材）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 培优提能6向量极化恒等式 (6培优链接 1.极化恒等式：a·b4[(a+b)2-(a-b)2] 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形 的“和对角线”与“差对角线”平方差的 2.平行四边形PMQN,0是对角线交点.则： (1)PM·PN[PQ2-|NM2](平行四边形模式)： (2)PM·PN=Po2NM2(仁角形模式). 典例(1)(2022·山东菏泽二模)已知半径为1的圆0上有三个动点 A,B,C,且AB=√2，则AC·BC的最小值为 (2)(2020·天津卷)如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=3,BC-6,且 AD入BC,AD·AB是，则实数入的值为 ;若M,N是线段BC 上的动点，且MN=1,则DM·DN的最小值为 M N (3)如图所示，正方体ABCD-ABCD1的棱长为2，MN是它的内切球的一 条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表 面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM·PN的取值范围是 D 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 52 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：(1)法一因为AB-√2，又OA=|OB=1,所以 OA2+|OB2=|AB2,所以∠AOB 以O为原点，OA,OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则A(1,0),B(0,1),设C(x,y),则x2+y2=1.AC=(x-1,y),BC=(x,y-1), 所以AC·BC=x(x-1)+y(y1)=x2+y2-xy-x-y+1, 设-xy+1=t,即x+y+t-1=0,依题意直线x+y+t-1=0与圆有交点， 所以年≤1，得1√2≤t≤1+V2, 所以AC·BC的最小值为1-√2 法二（极化恒等式）如图，取AB的中点为D,连接CD,则AC·BC=CA· cB|cD12-BA2=cD2≥E前219)1V2 (2)法一（极化恒等式） 依题意得AD∥BC,∠BAD=120°，由AD·AB ADAB·cos∠BAD=ADl=,得AD=l,因此入 品取 MN的中点E,连接DE(图略)，则DM+DN=2DE,DM·DN[(DM DN)2-(DM DN)21=DE2NM2=DE2. ·独家授权侵权必究 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城“ 燃身边的互联网+教辅专家 注意到线段MN在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC 的距离，即AB∙sinB3，因此DE|^21的最小值为(率)^2＋号， 即DM·DN的最小值为与． 法二因为AD=λBC，所以AD∥BC， 则∠BAD=120°，所以AD·AB=|ADAB·cos120^∘2，解得|AD |=1. 因为AD.BC同向，且BC=6， 所以AD+BC，即λ去 在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BD=AB·cOs60^∘， AO=AB·sin60^∘=平 以0为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x轴、y轴建立平面直 角坐标系。 Bo|MNc= 如图，设M(a，0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a+1，0)，且≤a≤2 又p(1，率)，所以DM=(a-1，垂)，DN=(a，-平)， 所以DM·DN=a^2-a+44=(a-|)^2+号， 所以当a-1时，DM‘DN取得最小值号。 (3)由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长 为2\sqrt{3}． 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径。 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 设内切球的球心为0，则PM·PNPo2ON2=|P02-1,由于P为 正方体表面上的动点，故OP∈[1，V3],所以PM·PN∈[0,2]， 答案：(1)1-√2(2)名9(3)[0,2] ◆名师指津◆ 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几 何属性，特别适用于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题. 触类旁通(1)已知AB是圆0的直径，AB长为2，C是圆0上异于A,B 的一点，P是圆0所在平面上任意一点，则PA+PB)·PC的最小值为 () A.B.寺C.克D.-1 (2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A,D分别在x轴、y轴的正半 轴（含原点）上滑动，则OC·OB的最大值是 0 (③)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上的两个三等分点.BA ·CA4,BF·CF=-1,则BE·CE的值为 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.2 xxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：(1)PA+PB2Po,