专题2 培优提能5 三角形中的中线、高线、角平分线问题-【导与练】2023高考数学二轮复习教师用书word（新教材）

品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书顺° 燃身边的互联网+数轴专家 培优提能5三角形中的中线、高线、角平分线问题 培优链接． 一、中线 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2 +AC^2=2(BD^2+AD2) 推导过程：在△ABD中，cosBABB^Ω2， 在△ABC中，cosB=4FtBC^C， 联立两个方程可得AB^2+AC2=2(BD2+AD^2，则AD2=(AB2+AC)-|BC． [点睛]灵活运用同角的余弦定理，适用于解三角形的题型。 B━卫°c 2.向量法：AD-1(b^2+c2+2bccos∠BAC) 推导过程：由AD+AB*AC)， 则AD^2+AB*AC)^2=|AB+1AC+|AB|AC|cos∠BAC， 所以AD24(b^2+c^2+2bccos∠BAC)． [点睛]适用于已知中线求面积(已知器的值也适用)。 二、角平分线 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c。 B——Dⅱ―c 独家授权侵权必究 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.利用角度的倍数关系：∠BAC2∠BAD=2∠CAD 2.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则怨肥 推导过程：在△ABD中，部B, BD 在△ACD中，2品c8D→0-册， 该结论也可以由两三角形面积之比得证，即品器器】 3.等面积法：因为S△ABDS△ACDS△ABC, 所以c·ADsin4e+b·ADsin4e=bcsin∠BAC, 所以(b+c)AD2 bccos- 整理得AD2c坐（角平分线长公式）。 btc 三、高线 1.h,h2,hs分别为△ABC边a,b,c上的高，则h1:h2:hs吉：： :: 2.求高一般采用等面积法，即求某底边上的高，需要求出面积和底边 长度， 3.高线的两个作用：(1)产生直角三角形：(2)与三角形的面积相关， 培优点1三角形的中线问题 典例1在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos C8元 (1)求角B: (2)若△ABC外接圆的半径为V,且AC边上的中线长为，求△ABC的 面积和周长 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解：(1)由cosC号元，得2 bcos C-2a-c, 利用正弦定理得2 sin Bcos C2sinA-sinC, 2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C, 化简得sinC-2 sin Ccos B. 因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以cosB, 又因为B∈(0，)，所以B号. (2)由正弦定理得品。2√3→b-3, 设D为AC边上的中点，则AD=CD=号，BD=号 +星￥ 法一在△BCD中，cos∠CDB-2x×, +-c2 在△ABD中，cOs∠ADB2×x, 因为∠ADB+∠CDB=r,所以cos∠ADB+cos∠CDB=0,所以a2+c2=17, 由余弦定理b2-c2+a2-2 accos B,可得9-c2+a2-ac,即ac=8, 由三角形的面积公式得S△Bc克acsin B=25, 又(a+c)2=a2+c2+2ac=17+2×8=33,所以a+c33,所以△ABC的周长为 3+V33 法二利用向量的加法法则得2BDBA+BC, 两边平方得4BD2BA2+BC2+2BA·BC, 即25=c2+a2+ac,由余弦定理b2-c2+a2-2 accos B,得9-c2+a2-ac, 两式相减得16-2ac,即ac-8, 由三角形的面积公式得S△c-acsin B=23, ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 由25=c2+a2+ac,得(a+c)2-ac-25,a+c33,所以△ABC的周长为3+ 33. ◆名师指津◆ 处理与三角形中线有关的问题的常用方法： (1)利用互补角（如本例中∠ADB与∠CDB互补，其余弦值互为相反数） 及余弦定理求解。 (2)利用中线长定理求解，但要书写其证明过程. (3)利用向量法求解 触类旁通1在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,C,已知 b-acos C号csin A,点M是BC的中点. (1)求A的值： (2)若a=√3，求中线AM长度的最大值. 解：(1)因为b-acos C+9 csin A,. 根据正弦定理得sinB-sin Acos C号sin Csin A. 所以sina+C)=sin Acos C+9 sin Csin A, 所以sin Acos C+cos Asin C-sin Acos C+9 sin C