专题1 培优提能4 极值点偏移问题-【导与练】2023高考数学二轮复习教师用书word（新教材）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 培优提能4极值点偏移问题 (6培优链接 1.己知函数f(x)的图象的顶点的横坐标就是极值点xo,若f(x)=c的 两根的中点刚好满足空=x,即极值点在两根的正中间，也就是说极 值点没有偏移.此时函数f(x)在x=xo两侧，函数值变化快慢相同，如 图(1). 2.若产≠xo,则极值点偏移，此时函数f(x)在x=xo两侧，函数值变化 快慢不同，如图(2)(3). fx) (无偏移，左右对称，二次函数) 若x)=f),则x+x2=2xo (1) 不1。名主 (左陡右缓，极值点向左偏移) 若孔x)时f小，则x+x>2x 2) X: 江五就 (左媛右陡，极值点向右偏移) 若x片fx,则x+名<2x (3) 培优点1对称变换（对称化构造） 典例1已知函数h(x)与函数f(x)=xex(x∈R)的图象关于原点对称， 如果x1≠x2,且h(x)=h(x2),求证：x1+x2>2. ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 证明：由题意知，h(x)=-f(x)-xex,h'(x)=ex(1-x),令h'(x)=0,解 得x=1. 当x变化时，h'(x),h(x)的变化情况如表： X (-∞，1) 1 (1,+∞) h'(x) + 0 极大值 h(x) 吉 由X1≠x2,不妨设x1>x2,根据h(x1)=h(x2), 结合图象可知x1>1,x2<1, 令F(x)=h(x)h(2-x),x∈(1，+∞)， 则F'(x)=(x-1)(e2x2-1)ex, 因为x>1,2x-2>0,所以e2x2-1>0, 则F'(x)>0,所以F(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以当x>1时，F(x)>0,即当x>1时，h(x)>h(2-x),则h(x)>h(2-x1), 又因为h(x)=h(x2),所以h(x2)>h(2-x1), 因为x1>1,所以2-x1<1,所以x2,2x1∈(-∞，1)， 因为h(x)在(-∞，1)上单调递增，所以x2>2-x1,所以x1+x2>2. ◆名师指津◆ 对称变换，常用来解决题设中f(x)=f(x2),且与x1,x2之和或积相关 的不等式的证明问题.其解题要点如下： ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城“ 燃身边的互联网+数轴专家 (1)定函数(极值点为x_0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性， 进而确定函数的极值点x_0 (2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)=f(x)-f(2x_0x)，若证 x_1x_2>x_0^0则令F(x)=f(x)-f()。 (3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性。 (4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f (2x_0-x)的大小关系。 (5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x_0-x)的大小关系 转化为x与2x_0-x之间的关系，进而得到所证或所求。 提醒：若要证明f′(平)的符号问题，还需进一步讨论一一与x_0的 大小，得出中所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负。 触类旁通1(2022·全国甲卷)已知函数f(x)号-1nx+x-a。 (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x_1x_2，则x_1x_2<1. “+x)(x (1)解：f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)==+1=—， 令f′(x)>0，解得x>1，故函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上 单调递增， 故f(x)=f(1)=e+1-a，要使得f(x)≥0恒成立，仅需e+1-a≥0， 故a≤e+1，故a的取值范围是(∞，e+1]． (2)证明：由(1)知若函数f(x)有两个零点，则f(1)=e+1-a<0，即a >e+1， 独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 不妨设0<x1<1<x2,要证明x1X2<1, 即证明x2<安， 因为0<x<1,所以)1， 即证明1<x2<是.又因为f(x)在(1，+∞)上单调递增， 即证明f(x2)<f(号)台f(x)<f(号)， 构造函数h(x)=f(x)-f(是)，0<x<1, h'(x)=f'(x)+是f'(宗)=：etwe四 x2 令k(x)=ex+x-xe克-1,0Kx<1, k'(x)=ex+1-et(1是)>0， 所以k(x)在(0,1)上单调递增，k(x)<k(1)0. 又因为x-1<0,x2>0, 故h'(x)>0在(0,1)上恒成立，故h(x)在(0,1)上单调递增， 又因为h(1)=0