专题1 培优提能3 隐零点问题-【导与练】2023高考数学二轮复习教师用书word（新教材）

享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 培优提能3隐零点问题 6培优链接 1.“隐零点”概念 隐零点主要指在研究导数问题中遇到的对于导函数f'(x)0时，不 能够直接运算出来或是不能够估算出来，导致自己知道方程有根存在， 但是又不能够找到具体的根是多少，通常都是设x=o,使得'(x) =0成立，这样的xo就称为“隐零点”， 2.“隐零点”解决方向 针对隐零点问题的解决步骤： (1)求导判定是不是隐零点问题： (2)设x=xo,使得f'(xo)=0成立： (③)得到单调性，并找到最值，将xo代入f(x),得到f(xo): (4)再将xo的等式代换，再求解（注意：xo的取值范围）. 培优点1隐零点的直接应用 典例1 (2022·河北深州市中学高三期末)已知函数f(x)=exa-1n (x+a)(a>0). (1)证明：函数f'(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点； (2)若函数f(x)在区间(0，+∞)上的最小值为1，求实数a的值. (1)证明：因为f(x)=exa-ln(x+a)(a>0), 所以f'(x)=eaa ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 因为yeXa在区间(0，+∞）上单调递增，y对a在区间(0，+∞)上单调 递减， 所以函数f'(x)在(0，+∞)上单调递增.又f'(0)=ea-音器，令g (a)=a-ea(a>0),g'(a)=1-ea<0, 则g(a)在(0，+∞)上单调递减，g(a)<g(0)=-l,故f'(0)<0. 令mFa+1,则f'(m)=f'(a+1)=e>0,所以函数f'(x)在(0，+∞) 上存在唯一的零点。 (②)解：由(1)可知存在唯一的xo∈(0，+∞)，使得f'(xo)=eaxa0, 即e*oa=a.() 函数f'(x)=exa在(0，+∞)上单调递增， 所以当x∈(0，x)时，f'(x)<0,f(x)单调递减：当x∈(xo,+∞)时，f' (x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)mimf(xo)=eoa-ln(xo+a), 由(*)式得f(x)minf(xo)=aln(xota). 所以x寸a-ln(xo+a)=l,显然xo+a=1是方程的解. 又因为ylnx在定义域上单调递减，方程xa-ln(xo+a)=1有且仅 有唯一的解xo+a=1, 把xo1-a代入(*)式，得e1-2a=l,所以a=,即所求实数a的值为. ◆名师指津◆ ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 处理隐零点的基本方法是“虚设及代换”：在确定零点存在的条件下 虚设零点xo,再借助零点的表达式进行合理的代换（常见形式就是“指 对转幂”)，进而求解。 触类旁通1(2022·山东临沂高三期末)已知函数f(x)=ex-ax-cos x,g(x)=f(x)-x,a∈R. (1)若f(x)在[0，+∞)上单调递增，求a的最大值： (2)当a取(1)中所求的最大值时，讨论g(x)在R上的零点个数，并证 明g(x)>V2. 解：(l)由题意可知，f'(x)=ex-a+sinx≥0在[0，+o∞)上恒成立，令h (x)=f'(x)=ex-a+sin x, 可知h'(x)=ex+cosx≥1+cosx≥0， 所以f'(x)单调递增， 所以f'(0)=1-a≥0，解得a≤1，所以a的最大值为l. (2)由(1)知a=1,所以g(x)=ex-2x-cosx, 当x≤0时g'(x)=ex-2+sinx≤-1+sinx≤0，所以g(x)单调递减， 当x>0时，g'(x)=e-2+sinx,令g(x)=g'(x),则e'(x)=e+cosx ≥1+cosx≥0，所以g'(x)单调递增， 因为g'(0)=-1<0,g'(1)=e2+sin1>0,所以存在xo∈(0,1)，使得g' (xo)=0, g(x)在(-∞，xo)上单调递减，在(xo,+∞)上单调递增，又g(0)=0,所以 g(xo)<0, ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 因为g(2)=e2-4-cos2>0,所以存在x1∈(xo,2),使得g(x1)=0,所以g (x)有两个零点 又因为eo-2+sinx00,所以g(x)ming(xo)-eo-2 Xo-cos x02-2 Xo-sin Xo COS Xo, 因为xo<1,所以g(xo)>sin xo-cos xo-√2sin(xo+)≥√2，故g (x)>2成立. 培优点2“隐零点”的卡根问题 典例2设函数f(x)=ex-ax-2.