专题1 培优提能1 利用导数式构造函数问题-【导与练】2023高考数学二轮复习教师用书word（新教材）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 培优提能1利用导数式构造函数问题 (6培优链接 对于f(x)与f'(x)共存的不等式问题，常结合求导法则构造适当的 函数求解，常见以下形式： (1)对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)=f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<O),构造函数F (x)=f(x)g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0(或<0)，构造函数F(x)= 器g)≠0. (⑤)对于xf'(x)+nf(x)>0型，构造F(x)=xf(x),则F'(x)=xr1[xf (x)+nf(x)](注意对x1的符号进行讨论)，特别地，当n=1时，xf'(x) +f(x)>0,构造F(x)=xf(x),则F'(x)=xf'(x)+f(x)>0. (6)对于xf'(x)nfx)>0(x≠0)型，构造Fx),则F'(x)= 女r因（注意对x1的符号进行讨论），特别地，当nl时，xf'(x) xo+1 -f(x)>0,构造F(x)=型，则F'(x)型>0. 2 (7)对于不等式f'(x)+f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)=ef(x). (8)对于不等式f'(x)-f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)C四。 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 典例(1)(2021·陕西宝鸡二模)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 且满足f(x)+xf'(x)>0(f'(x)是f(x)的导函数)，则不等式(x-1) f(x2-1)<f(x+1)的解集为() A.(-c∞，2） B.(1,+o∞) C.(1,2)D.(-1,2) (2)(2022·安微芜湖模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足f' (x)-2f(x)>0,则下列大小关系正确的是() A.f(2)>e2f(1)>e3f() B.e2f(1)>f(2)>e3f() C.e2f(1)>e3f(号)>f(2) D.f(2)>e3f(3)>e2f(1) (3)(2022·陕西安康高新中学三模)已知函数f(x)的定义域为R,且 对任意x∈R,f(x)-f'(x)<0恒成立，则exf(x+1)>e4f(2x-3)的解集是 () A.(4+∞) B.(-1,4) C.(∞，3) D.(-∞，4) (4)(2022·河南模拟预测)己知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，其导函 数是f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x.若f(2)=1,则不等式3f(x)-x专> 0的解集是() A.(0,2)B.(2,+∞） C.(0,号)D.(号，+∞) 独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城 您身边的互联网+教辅音家 解析：(1)令g(x)=xf(x)，则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0，即g(x)在(0，+ ∞)上单调递增， 又x+10，则(x-1)f(x^2-1)<f(x+1)等价于(x^2-1) f(x^2-1)<(x+1)f(x+1)，即g(x^2-1)<g(x+1)， (x2-1>0， 所以1x+1>0，(x-1<x+1得1<x<2，所以原不等式的解集为(1，2)。故选C。 (2)构造函数g(x)=~，其中x∈R，则g′(x)-2>0， 所以，函数g(x)为R上的增函数， 所以，g(})<g1<g(2)，即轴<3，因此，e3r(1)<er1)<f(2)． 故选A。 (3)设g(x)=^2，则该函数的定义域为R， 则g′(x)xf(2>0，所以g(x)在R上单调递增。 由e^xf(x+1)>e+f(2x-3)，可得中>一，即g(x+1)>g(2x-3)， 又g(x)在R上单调递增，所以x+1>2x-3，解得x<4，所以原不等式的解 集是(-∞，4)。故选D。 (4)构造函数g(x)=x^2f(x)寺x^3，其中x>0， 则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)-x2=x[2f(x)+xf′(x)-x]>0， 故函数g(x)=x2f(x)+x^3在(0，+∞)上单调递增，且g(2)=4f(2)手丰 因为x>0，由3f(x)-x最>0可得x2f(x)十x^3特，即g(x)>g(2)，解得x >2.故选B。 ◆名师指津◆ _____独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 量b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解决f