专题1 第5讲 函数与导数的综合应用-【导与练】2023高考数学二轮复习教师用书word（新教材）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第5讲函数与导数的综合应用 ●2 GANWUGAOKAO 感悟高考 明确备考方向 6真题体验 1.[不等式恒成立问题](2020·全国I卷，T21)己知函数f (x)=ex+ax2-x. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥号x3+1,求a的取值范围. 解：(1)当a=1时，f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1,设g(x)=f'(x), 因为g'(x)=e+2>0,可得g(x)在R上单调递增，即f'(x)在R上单调 递增， 因为f'(0)=0,所以当x>0时，f'(x)>0:当x<0时，f'(x)<0, 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减. (2)当x≥0时，f(x)≥青x3+1恒成立， ①当x=0时，不等式恒成立，可得a∈R; ②当x0时，可得a≥4t1e'恒成立， 设h(x)-r4料1e* 则h'(x)-2-9e3x2习 X3 =(29e*+x8xt(x2x2 x3 =29e4x2x-2☑+x-2(40 图 _(2x(ex2x-1) x3 ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城“ 燃身边的互联网+教辅专家 设m(x)=exzx^2-x-1，可得m′(x)=e^x-x-1，设v(x)=m′(x)=e^xx-1，则 v′(x)=e~1， 由x>0，可得w′(x)>0恒成立，可得m′(x)在(0，+∞)上单调递增，所 以m′(x)>m′(0)=0， 即m′(x)>0恒成立，即m(x)在(0，+∞)上单调递增，所以m (x)>m(0)=0， 再令h′(x)=0，可得x=2，当0<x<2时，h′(x)>0，h(x)在(0，2)上单调 递增；__ 当x>2时，h′(x)<0，h(x)在(2，+∞)上单调递减，所以h(x)_m=h(2)= 牛，所以a≥4． 综上可得，a的取值范围是[，+∞)． 2.[不等式的证明](2021·全国乙卷，T20改编)已知函数f (x)=ln(1-x)，设函数g(x)==证明：g(x)<。 x#f(x)_x+h() 证明：f(x)=1n(1-x)，g(x)=(x1x)，x<1且x≠0. 当x∈(0，1)时，要证g(x)==<1， 因为x>0，1n(1-x)<0，所以x1n(1-x)<0， 即证x+1n(1-x)>xln(1-x)， 化简得x+(1-x)1n(1-x)>0. 同理，当x∈(-∞，0)时，要证g(x)=益与<1，因为x<0，1n(1-x)>0， 所以xln(1-x)<0，即证x+1n(1-x)>x1n(1-x)， 化简得x+(1-x)1n(1-x)>0. 独家授权侵权必究一 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 令h(x)=x+(1-x)1n(1-x),再令t=1-x, 则t∈(0,1)U(1,+∞)，x=1-t, (t)=1-t+tln t,c'(t)=-1+1n t+1=1n t, 当t∈(0,1)时，e'(t)<0,e(t)单调递减， 假设g(1)能取到，则(1)=0，故g(t)>g(1)0: 当t∈(1，+∞)时，g'(t)>0,g(t)单调递增， 假设g(1)能取到，则s(1)=0,故g(t)>g(1)=0. 综上所述，g(x)<1成立. 3.[函数的零点问题](2022·全国乙卷，T20)已知函数f(x)=ax是-(a +1)1nx. (1)当a=0时，求f(x)的最大值： (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围. 解：(1)当a=0时，f(x)=是-1nx,x>0, 则f′(x)章是紧， 当x∈(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以f(x)axf(1)=-1. (2)f(x)=ax是-(a+1)1nx,x>0, 则f'(x)=a京装=型，x>0, 2 当a≤0时，ax-1≤0，所以当x∈(0,1)时， f'(x)>0,f(x)单调递增； ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0,f(x)单调递减. 所以f(x)axf(1)=a-1<0,此时函数无零点，不符合题意： 当0<a<1时，>1，在(0,1)，（日，+∞）上，f'(x)>0,f(x)单调递增； 在(1，)上，f′(x)<0,f(x)单调递减. 又f(1)=a-1<0,当x趋近正无穷大时，f(x)趋近正无穷大， 所以f(x)仅在(，+∞)上有唯一零点，符合题意； 当a1时，f'6)-≥0，所以