第2章 导数及其应用 单元知识整合1 微专题妙总结-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第二章〉导教及共应用儿 单元知识整合 一、微专题妙总结 内洒啊释识胎汇·方法总结 微专题1 导数中重要不等式的应用 在x∈（一0∞，1）时，是否存在x0<1,使 在导数的应用中，有两个重要的不等式应 f(xa)>0呢？ 用较为广泛，即e≥>x十1及其等价形式lnx≤ 一般情况下可解不等式f(x)>0(x<1) x一1(x>0),由以上两个不等式又可以衍生出 或直接取点求值，可在这里，不等式「(x)> 许多不等式，利用这些不等式实现放缩即可解 0(x<1)不可解，那么直接取哪个点呢？事实 决下列问题 上取哪个具体的x0∈（一∞，1）都不合造，这是 1.函数零点所属区间端点的确定一找 因为函数f(x)在（一∞，1）内的零点是随着a 点的方法 的变化而变化的.这时，我们的思路是欲使 当函数f(x)在某个区间上单调时，函数 f(x)>0,可将函数f(x)缩小为函数g(x),且 f(x)在该区间上是否存在零点，需要利用零点 g(x)>0(x<1)可解，通过解不等式g(x)>0 存在定理给出判断，即在该区间上找出两个点 (x<1),即可找到x满足f(xo)>g(0)>0. ,x2,使f(x)f(x)<0,而对于含变量的函 数f(x),该如何找出这样的点x1与x2呢？下 那么怎样对f(x)缩小呢？ 面将通过例题具体讲解。 思路一函数∫(x)缩小的着眼点应放在 ⊙例题1（经典，全国I卷改编）讨论函 e上，注意到x<1,则x一2<0，而此时e<e, 数f(x)=(x-2)e+a(x-1)2的零点的个数. 所以f(x)=(x-2)e+a(x-1)2>e(x-2)十 解新当a=0时，函数f(x)存在唯一零，点 a(.x一1)2=g(x),此时g(x)>0可解 x=2. 方法一r<1时.x一2<0，e<e,则f(x)> 当a≠0时，f(x)=(x-1)(e+2a). e(x-2)十a(.x-1)2=g(x), (1)当a>0时，由(x)>0得x>1,由 即g(x)=a.x2+(e-2a).x十(a-2e) f(x)<0得x<1, 令g(.x)=0,则△=(e-2a)-4a(a-2e) 即函数f(x)在（一∞，1）上单调递减，在 e2十4ae>0,所以方程g(.x)=0有两个不等实 (1,十∞)上单调递增， 又f(1)=-e<0,且当x∈(1，十o)时， 根，设为x1,x2,且1<x2,解不等式g(x)>0 f(2)=a>0, 得x<x1或x>x2,取xo<min{1,x},则 则f(1)f(2)<0,所以函数f(x)在(1,2) g(x)>0,所以f(xa)>g(xa)>0, 内存在唯一零点，从而在(1，十⊙∞)内存在唯 即f(x)f(1)<0,函数f(x)在(x,1)内 零点 存在唯一零点，从而函数f(x)在（一○，1）内存 151 考点同步解读)高中放学选择性必修第二册SD色 在唯一零点 去(x一2)即可解不等式.函数y=a(x一1)2的 思路二方法一虽找到了满足f()>0 图象如图所示，连接点(0，a)与(2,0)，其直线 的x,但不够“具体”，能否找到一个“具体”的 方程为y=一受(x-2,因此当x<0时a(x 呢？能否将方法一中的一元二次不等式再 简化些呢？我们知道存在无穷多个x满足 1)2>- 号(r-2),所以f(x)>(x-2)e f(x)>0,于是我们可考虑x∈（一∞，0）. 当x0时，则e<1.所以f(x)>(x-2)十 受x-2)=(x-2)(e-)又x-2<0,令 第 a(x-1)2,解不等式(x-2)十a(x-1)>0,得 f(x)>0得e<号，即<ln号，故此时取= x<2a-1,4a▣或x>2a-1+4a五，此 2a 2a mim0,lh号即可， 第二章 时只需取xn<min0,2a-1V4a+I 2a ,则 方法三取w=min0,ln号} f(xo)>0,那么能否找出一个“具体”的比 当a>2时，ln号>0，则m=0,f(0)= 2a-1-4a+1小的负数呢？ 2a -2+a>0,此时f(0)f(1)0: 由于24-1√4五2a-1-4u+]+4证 2a 2a 当a=2时，n受=0，则西=0=lh受， =且一日<0.因此取=即可 f(0)=0,x=0即为函数f(x)的零点： 当0<a<2时，ln号<0，则w=lh受 方法二取西=-，则f(-) (-&-2e+a(-a-刂°=(-是-2e+ f血)=（血号-2et+a(m号-1）' 是+2+a=(日+21-e)+a>0,即 号n号+alr号-2an号=aln号(ln号-)> 0,此时fn号)f1)<0. f(-/1)<0,所以函数x)在(-是1)内 从而函数f(x)在（一o∞，1）内存在唯一零点 存在唯一零点，从而函数f(.x)在（一∞，1）内存 所以函数f(x)在R上