第1章 数列 单元知识整合1 微专题妙总结-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（北师大版）

第一章〉鼓列儿 单元知识整合 一、微专题妙总结 内洒啊释识胎汇·方法总结 微专题1 通项公式的求法 所以数到h}是以小=号为首项，d=司为 1.已知Sn求an 公差的等差数列： S1,n=1, 利用an= 可由数列的前 (2)由(1)可得，数列{b}是以b= 为首 S.-Sw-1,n≥2， n项和Sn求得数列的通项公式aw.若n=1时， 项，d=1 为公差的等差数列. a.(n≥2)表达式的值不等于a1,则数列的通项 6=+(m-Dx号-1+受 公式务必要分段表示. S 2b.2十n ⊙例题面(2021，全国乙卷)记S。为数列 2b.-11+n {an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已 、3 当n=1时，a1=S1=2: 知+-2 当n≥2时a,=S。-S1=士11十n (1)求证：数列{b}是等差数列. 1十n n(十)显然对于n=1不成立. 1 (2)求数列{a.}的通项公式. 国1)南已如爱+2得S=器 a 21=1, 且b,≠0，b.≠ 1 ..dn 1 n(n+1)n≥2. 取n=1,由S,=得=多 2.由递推关系式求通项 由数列的递推关系式求通项，通常需要对 因为bn为数列{Sm}的前n项积， 数列的递推关系式进行化归，转化为等差数列 26 所以26‘226 或等比数列问题求其通项.常见的类型如下： 2b12b 2ha+1 (1)形如am+1=am十f(n)的递推关系式 所以功‘2%…·2h白6… 当知数列中相邻两项的差的递推关系 2b+1_b+1 所以2b.+1气b 式，即a+1一an=f(n)(n∈N”)时，通常采用累 加法求其通项，其方法是利用恒等式a.=(a.一 2 由于b+1≠0，所以2b.1-16 1 ar-1)十(am-1一aw2)十…十(a2一a)十a求解. ⊙例题2(2022，武汉三中测试)已知在 即61一么=2其中nEN. 数列{an}中，a1=1,an+1=an十2n十1，求a 71 考点同步解读〉高中放学选桥性必修第二册SD台 解祈方法一由已知，得a2=a1十2X 当a+1≠am时，数列{an+1一an}是以c为公比 1+1, 的等比数列，求出aw+1一am的表达式，累加即 s=2+2×2+1, 得数列{an}的通项公式. 方法四利用恒等式an=(an一cam-1)十 a,=aw-1十2(n-1)+1. c(am-1-ca2）十c2(am-2-can3)+…十 将各式相加，得 cr-2(a2-ca1）+ca1. am=a+2[1+2+…+(n-1)]+(n-1) o例题3已知在数列{an}中，a1=2,ar+1= 第 =1+2."21D+(m-1D 2am十3，求an 2 童 解析方法一（迭代法） =n2(n≥2). 第二货 ,a1=2,am+1=2am十3， 又，a1=1也符合上式， ∴.a2=2a1+3=22+3, .an=2(n∈N). 3=2a2+3=23+3×2+3, 方法二由已知，得a+1一(n十1)2= a=2a%十3=2+3×22+3×2+3， an-n2, 令bn=an一2，则b+1=bn, am=2+3(2-2+2m-3+…十2+1) 即数列{b}是一个常数列， .b。=b=a-1=0. =2+3x12 1-2 ∴.an=(n∈N). =5×2-1-3(n≥2). (2)形如am+1=can十f(n)(c≠0，c≠1)的 又当n=1时，a1=2,符合上式， 递推关系式 .an=5X2r-1-3(n∈N). 若f(n)为常数，即a+1=cam十t(c≠0， 方法二（累加法） ≠1，≠0).满足此类递推关系的数列的通项 a+1=2am十3 公式的求法如下： .am-2aw-1=3, 方法一（迭代法）即利用递推关系式逐 2aw-1-2a-2=3X2, 次将a,用a-1表示(i∈N,i≥2)，直至用a1 22am2-23am-3=3X22, 表示，求和即得通项公式 方法二利用待定系数法将其递推关系 2m-a2-2m-la1=3×2m-8 式化归为a1-乙。=ca.-亡当a 将这n一1个等式左右两边分别相加，得 亡0时，数列a,-亡是以a-亡为 am-2-a1=3(1+2+22+…+2-2), 则am=5×21-3(≥2). 首项c为公比的等比数列：当a一-c=0 又，当n=1时，41=2，符合上式 .an=5X2-1-3(n∈N）. 时，a,亡。=0，即a,= 方法三（累乘法） 方法三由am+1一ca,十1得am=caa-1十 a1=2,am+1=2an十3， t(n≥2).两式相减得am+1一am=c(am一am-1). .an=2aw1十3，a2=7. 72 /第一章〉数列/ ∴a_e+1-a_w=2(a_w-a_n-1)，即a_n+1-(n+1)=4(an-n