第3章 3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版）

I考点同步解读>高中放学选择性必经第一新RSD么 s3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 高考要求学业标准·考情分析) 点分类）考点透析·典例剖析） 考点1，空间向量基本定理 __________根点________ 1.空间向量基本定理1.空间向量的基底 第如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一空间向量p，_（1)条件；三个向量a，b.c 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得不共面． p=xa+yb+zc．(2)结论：{a，b，c}叫作空 我们把{a，b，c}叫作空间的一个基底，a，b，c都叫作间的一个基底。 基向量。（3)基向量：基底中的向 块2.推论：设O.A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点量a·b·e都叫作基向量． P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使得OP=xOA+[说明](1)基底选定后， yOB+zOC。空间所有向量均可由基底唯 3.如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度一表示 （2)构成基底的三个向量 都为1，那么这个基底叫作单位正交基底。常用{i，j，k)表示。a.b.c中没有零向量，其中的 4.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空个向量称为基向量。 间向量进行正交分解．____________z。用基底表示空间向量 考题1（2022·武汉蔡甸一中月考)已知{e|，e2e_3}是空的步骤 间的一个基底，且OA=e_1+2e_2-e_3，OB=-3e_1+e_2+2e_3，OC=（1)定基底；根据已知条 件确定三个不共面的向量，从 e_1+e_2-e_3，试判断{OA，OB，OC}能否作为空间的一个基底。 而构成空间的一个基底。 解析假设OA.OB，OC共面，由向量共面的充要条件知，存2)找目标：用确定的基 在实数x，y，使得OA=xOB+yOC成立，即e_1+2e_2-e_3=x(-3e_1+底(或已知的基底)表示目标 第三章)空间向量与立体儿何升 e2+2eg)+y(e1+e2-ea)=(-3.x+y)e1+(x+y)e+(2.x 向量，需要根据三角形法则及 y)es. 平行四边形法则，结合相等向 因为{e1,e2,e3}是空间的一个基底，所以e1,e2,eg不共面. 量的代换、向量的运算进行变 -3.x十y=1, 形、化简，最后求出结果 则x十y=2,而此方程组无解， (3)下结论：利用空间向 量的一个基底{a,b,c}可以表 2x-y=-1, 即不存在实数xy,使得OA=xO店+yOC成立， 示出空间所有向量.表示要彻 底，结果中只能含有a,b,c,不 所以OA,O,O心不共面. 能含有其他形式的向量 第 故{OA.OB.O心能作为空间的一个基底。 ⊙考题2(2022·银川一中高二周测) 第 如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC,设OA=a,OC=b.O币=c,E, ②方法归纳 F分别是PC和PB的中点，试用a,b,c表示 判断基底的方法 以下向量：B示，B配，AE,E京 判断给出的某一向量组 能否作为基底，关键是要判断 第 解析如图，连接BO. 它们是否共而.如果从正面难 则B=B=号(B0+O°)=2(e-b 以入手，可用反证法或利用一 些常见的几何图形进行判断， 五意 a)=-a2b+2c 成-心+Ci--a+号C-=-a+号(dòA +0=-a-b+c 第 Ai=AP+P陀=A0+O+号(Pò+0C)=-a+c+ (-c+b)=-a+2b+2c. ㎡-ci=oi-a 考点2 空间向量的坐标表示 核心总结 给定一个空间直角坐标系和向量ā，在单位正交基底i, j,k)下，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组(a1 a2,a),使a=ai+aj+ak 有序实数组(a1,a2,ag)叫作a在空间直角坐标系Oxyg中 的坐标，即a=(a1,a,a).设A是空间任意一点，OA=xi十 yj+k,则(x,y,)称为点A的空间直角坐标 157 考点同步解读〉高中放学选棒性必修第一册SD台 ⊙考题3(2022·江西瑞昌一中高二月考)已知点A在基底 ②方法归纳… 空间向量坐标表示的 {a,b,c}下的坐标为(8,6,4)，其中O为坐标原点，a=i+j,b=j+ 方法与步骤 k,c=k十i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是( ① A.(12,14,10) B.(10,12,14) 图形 充分观察图形特任 C.(14,12,10) D.(4,3,2) 解折OA=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)= ②根据附形持花建主 标系 空间式角坐标桑 12i+14j+10k. 第 答系A 第合州用的兰的加 诚法及数乘运算 童 ⊙考题4(2022·江苏启东中学高二月考)在直三棱柱 第二章 ③将所求向量用己知 AB0-AB0中，