专题04 二倍角的三角函数（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题4 二倍角的三角函数 （一）二倍角的正弦 S2α：sin2α＝2sinαcosα （二）二倍角的余弦 C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； （三）二倍角的正切 T2α：tan2α＝； 公式应用的条件：α≠且α≠kπ＋ (k∈Z)，当α＝kπ＋ (k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采用诱导公式 （四）二倍角公式的逆用、变形 1.逆用形式： 2sinαcosα＝sin2α；sinαcosα＝sin2α；cosα＝；cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α； ＝tan2α． 2.变形用形式： 1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2； 1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α；cos2α＝； sin2α＝． 题型一 公式的正用 【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知，，则cos2α＝（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求的值. 【规律方法】 由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解． 题型二 公式的逆用 【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设则有（    ） A． B． C． D． 【典例5】【多选题】（2023春·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考开学考试）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例6】（2022秋·江苏常州·高一校考期末）计算： (1)求值； (2)已知，，求的值 【规律方法】 当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程. 题型三 公式的变用 【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）（    ） A．1 B． C． D． 【典例8】（2023春·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）求证： ． 【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【规律方法】 公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2,1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝． 题型四 三角函数式化简问题 【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：____. 【典例11】（2022春·上海徐汇·高一上海市徐汇中学校考阶段练习）化简：__． 【典例12】（2023·高一课时练习）化简并求值． (1)； (2)； (3)． 【规律方法】 1.三角公式化简求值的策略 (1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律． (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题 (1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系． (2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式． 题型五 三角恒等式证明问题 【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：； 【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证： 【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：； （2）求证：． 【总结提升】 三角恒等式的证明方法 (1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目． (2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子． (3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立． 提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号． 一、单选题 1．（2023·江苏·高一专题练习）（    ） A． B． C． D． 2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022春·江苏宿迁·高一泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知为任意角，若满足，则（       ） A． B． C． D． 4．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若，则（    ） A．0 B． C． D． 5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若，则的值为