第二章　直线和圆的方程 章末复习-【考点同步解读】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

考点同步解读〉高中数学选漆性必修第一册RA多 章末总复习 一、微专题妙总结 专题突破识触汇·方法返站 微专题1 直线系 此定点的坐标 第 几种常见的直线系方程： 解析方法一（特殊值法）》 第二背 (1)与直线Ax十By十C=0平行的直线系 当m=1时，直线l的方程为y=一4： 方程为Ax十By+A=0(入为参数) 当m= 2时，直线1的方程为x=9: 第 (2)与直线Ax十By十C=0垂直的直线系 所以两直线的交点为A(9,一4)， 方程为Bx一Ay十A=0(入为参数)， 而点A(9,一4)恒满足方程(m一1)x十 (3)过直线4：Ax+B1y+C=0和l: 模 (2m-1)y=m-5, 块 A2x十B2y十C2=0的交点的直线系方程为 所以不论m为何实数，直线l:(m一1)x十 m(Ax+Biy+C)+n(A2x+B2y+C2)=0 (2m-1)y=m-5恒过一定，点(9，一4) (m,n是参数). 方法二（直线系法） 特殊地，过定点M(x0,%)的直线系方程 将方程(m一1)x+(2m一1)y=m一5整理 为y-y%=k(x一xo)及x=xm. 得m(x+2y-1)-(.x+y-5)=0. ⊙例1已知点P的坐标为(1,3)，直线 解方程组 x+2y-1=0,mx=9, 得 l:x-4y+1=0. x+y-5=0, y=-4 (1)求过点P且平行于1的直线4的方程. 将定点(9，一4)代入方程，则方程(m一1).x (2)求过点P且垂直于1的直线2的方程. +(2m-1)y=m-5恒成立 解析(1)因为l∥1， 所以不论m为何实数，直线1(m一1)x十 所以设4的方程为x一4y十C=0. (2m一1)y=m-5恒过一定点(9，一4). 又点P(1,3)在41上，即1-4×3+C=0, [注意]求直线过定点，常用两种方法 解得C=11. 特殊值法和直线系法。 所以4的方程为x一4y十11=0. 特殊值法，即取两个特殊参数值，得到两 (2)因为l2⊥1， 条特殊直线，进而求两条特殊直线的交点坐 所以设l2的方程为4x十y十C=0. 标，并代入原直线方程检验，即得定点。 又因为l2过点P(1,3), 直线系法，即将直线方程化为含参数的恒 所以4×1+3十C=0,解得C=一7. 等式形式，利用恒等式各系数为0列出关于x 所以l2的方程为4.x十y一7=0. 与y的方程组，通过解方程组求出定点坐标. ⊙例2已知m∈R,求证：直线l:(m ⊙例3求经过两直线l1:x-2y十4=0 1)x十(2m一1)y=m一5恒过一定点，并求出和l2:x十y一2=0的交点P,且与直线1：3x- 108 /第二章〉直线和圆的方程∥ 4y+5=0垂直的直线l的方程。当点P(x_ωy_0)在圆内时，直线xx_0+yy 解据方法一由方程组“-2y+4=0，=R^2为过点P(x_y)且垂直于OP的直线， x+y-2=0如图3. 得P(0，2)。 因为直线l_3的斜率为4，且l⊥l_3， x_x+yy=R xx+yy=R|B P(x，y) 所以直线l的斜率为一3， 图1图2ⅳ 第 由斜截式可知l的方程为y=-号x+2，r_2x+yy-RB章 即4x+3y-6=0. 方法二设所求直线l：4x+3y+c=0， 由方法一知点P’(0，2)代入方程，得c=图3 -6，所以直线l的方程为4x+3y-6=0.2.三者距离之间的重要关系 方法三设直线l的方程为x-2y十4+若设点O到直线l的距离为d_1，OP的长 λ(x+y-2)=0，为d_2，则d_1d_2为常数(R^2)． 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.[注意](1)一般地，求圆的切线方程要抓 又因为l⊥l3，所以3×(1＋λ)+(―4)×住圆心到直线的距离等于半径； （λ-2)=0，解得λ=11.（2)从圆外一点引圆的切线一定有两条， 所以直线l的方程为4x+3y-6=0.可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几 变式1无论m为何值，直线l：(2m+何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求。 1)x+(m+1)y-7m-4=0恒过一定点P，则3一般方程的切点弦 点P的坐标为______．已知圆(x-a)+(y-b)^2=R^2和点P(x%， 变式2》已知直线l过点A(―1，1)，它y%)，则 被两平行直线l_1-x+2y-1=0，l_2x+2y-3圆的切点弦方程是(x-a)(x_0-a)＋(y- =0所截得线段的中点在直线l_3：x-y-1=0b)(y_9-b)=R， 上，求直线l的方程。·倒4|已知点P在直线2x-3y-6=0 微专题2』快速求解切点弦方程上运动。过点P作圆O_：x^2+y^2=4的切线，切 1.切点弦方程的求法点为A.B.求证：直线AB过定点。 过圆x^2+y^2=R^2上一点P(x