模型29 圆内最大张角之米勒角问题（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

令学利科购 科网原创，让李司更会局！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 大招 圆内最大张角 之米勒角问题 模型介绍 故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣 的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大 视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米 勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”， 米勒问题： 已知点A,B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时， ∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 米勒定理： 已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形 ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大， 证明： 如图1，设C是边OM上不同于点C的任意一点，连结A,B,因为∠ACB是圆外角，∠ACB 是圆周角，易证∠ACB小于∠ACB,故∠ACB最大。 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原到，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 在△ACD中∠ADB=∠ACD+∠DAC 所以∠ADB>∠ACD 又因为∠ACB=∠ADB 所以∠ACB>∠ACD 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米 勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维 难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫 展，即使解出也费时化力。 例题精讲 【例1】.平面直角坐标系内，已知点A(1,0),B(5,0),C(0,t).当t>0时，若∠ACB最大，则t 的值为()》 A.2N2 B.5 c.√5 D. 32 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 卫学利网 学科网原创，让学司更名品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 >变式训练 【变式1-1】.如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM 的度数最大时，则BP= 【变式1-2】.如图，∠AOB=60°，M,N是OB上的点，OM=4,MN=2√3. (1)设⊙O过点M、N,C、D分别是MN同侧的圆上点和圆外点. 求证：∠MCN>∠MDN: (2)若P是OA上的动点，求∠MPN的最大值. M ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 令学利网 学科网原针，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【例2】.在直角坐标系中，给定两点M(1,4),N(-1,2),在x轴的正半轴上，求一点P,使∠MPW 最大，则P点的坐标为 M O P >变式训练 【变式2-1】.如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走.已知∠AOB =30°，MN=2OM=40m,当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是米. A M B 【变式2-2】.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E,F分别是边CD,BC上的动点，且∠AFE= 90 (1)证明：△ABF∽△FCE: (2)当DE取何值时，∠AED最大. D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 实战演练 1.在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)(a>0,b>0),若AB=4W2且∠ACB最 大时，b的值为() A.2+2√6 B.-2+2W6 C.2+4W2 D.-2+4W2 2,如图，A,B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC,BC,则 ∠ACB就是射门角.在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大.球员甲 带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射 门角.若AB=4,BD=1,则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为() A 0 E A.2 B.3 c.√5 D.√15 3.已知点A、B的坐标分别是(0,1)、(0,3)，点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的 坐标是 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 4.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数 最大，则BP= D M 5,某儿童游乐场的平面图如图所