考点05 一元二次方程-备战2023年中考数学必考知识梳理与题型归纳突破（全国通用）

令学科网 学科网原创，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 考点05一元二次方程 命题趋势 本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根与系数的 关系)、一元二次方程的应用题为主，既有单独考查，也有和二次函数结合考察最值问题，年年考查，分 值为15分左右，预计2023年各地中考还将继续考查上述的几个趣型，为避免丢分，学生应扎实掌握。 知识梳理 1、一元二次方程的概念 1)一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2)一般形式：ax2+bx+c=0(其中a,b,c为常数，a≠0)，其中ax2,bx,c分别叫做二次项、一次项和 常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数. 注意：(1)在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0，因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次 方程：(2)一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知 数的最高次数是2. 2、一元二次方程的解法 1)直接开平方法：适合于(x±a)2=b(b≥0)或（±b)2=(cx±d)2形式的方程. 2)配方法：(1)化二次项系数为1：(2)移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项： (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(4)把方程整理成(x士a)2=b(b≥0)的形式： (5)运用直接开平方法解方程. 3)公式法：(1)把方程化为一般形式，即ax2+bx+c=0:(2)确定a,b,c的值；(3)求出b2-4ac的 值：(4)将a,b,c的值代入x=-b士vB-4ae即可. 2a 4)因式分解法：基本思想是把方程化成(ax+b)(Cx+d)=0的形式，可得ar+b=0或cx+d=0. 3、一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1)根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是否有实数根，由b2-4ac的符号来确定，我们把 1/17 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 令学利网 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。 2)一元二次方程根的情况与判别式的关系 (1)当b2-4ac>0时，方程arx2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根； (2)当b2-4ac=0时，方程ax2+br+c=0(a≠0)有1个（两个相等的）实数根； (3)当b2-4ac<0时，方程ax2+br+c=0(a≠0)没有实数根. 3)根与系数关系：对于一元二次方程ax2+br+c=0(其中a,b,c为常数，a≠0)，设其两根分别为x, 6,则x+5=-6,x西，= a 4、利用一元二次方程解决实际问题 列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程（组）解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步，列 一元二次方程解应用题，经济类和面积类问愿是常考内容。 1)增长率等量关系 (1)增长率=增长量÷基础量，(2)设a为原来量，1为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量， 则a(1+m)”=b:当m为平均下降率时，则有a(1-m)”=b. 2》利等量关系：（少利润-售价一成本。2)利淘幸程 ×100%, 3)面积问题 (1)类型1：如图1所示的矩形ABCD长为，宽为b,空白“回形道路的宽为x,则阴影部分的面积为 (a-2x)b-2x). (2)类型2：如图2所示的矩形ABCD长为，宽为b,阴影道路的宽为x,则空白部分的面积为 (a-x)(b-x). (3)类型3：如图3所示的矩形ABCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为x,则4块空白部分的面积之和 可转化为(a-x)b-x). 图1 图2 图3 4)碰面问题（循环问题） 2/17 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (1)重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 :1支球队要和剩下的(n一1)支球队比赛，：1支球队需要比(n一1)场 :存在n支这样的球队，.比赛场次为：n(n一1)场 ,A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，：，上述求法有重叠部分 1 m-2n (n-1) (2)不重叠类型（单循环）：支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 :1支球队要和剩下的(n一1)支球队比赛，，1支球队需要比(n一1)场 :存在n支这样的球队，.比赛场次为：n(n一1)场 :A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，，上述求法无重叠 .m=n(n-1） 重点考向 考向1一元二次方程及方程的解 紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式