专题03 两角和与差的三角函数（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题3 两角和与差的三角函数 （一）两角和与差的余弦 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； 【点拨】 ①简记为：“同名相乘，符号反”． ②公式本身的变用，如 cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ． ③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]． （二）两角和与差的正弦 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ； 【点拨】 ①简记为：“异名相乘，符号同”． ②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”. （三）两角和与差的正切 T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. 【点拨】 1 公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立. ②当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法． ③变形公式： tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)， tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)， 如tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)， tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tanαtanβtan(α＋β)， 1－tanαtanβ＝． 1＋tanαtanβ＝． （四）辅助角公式 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定． . 题型一 公式的正用 【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·江苏·高一专题练习）已知，是方程的两根，且，，则的值为______． 【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知是第四象限角． (1)求的值； (2)求的值． 【规律方法】 正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值” 问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值． 题型二 公式的变用、逆用 【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【典例5】【多选题】（2023秋·山西太原·高一统考期末）计算下列各式，结果为的是（    ） A． B． C． D． 【典例6】求下列各式的值： (1)； (2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)； (3)tan25°＋tan35°＋tan25°tan35°． 【规律方法】 1.“1”的代换：在Tα±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的． 2．若α＋β＝＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2． 3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 题型三 给值求值 【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例8】（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）已知函数在时取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知，，，，求： (1)的值； (2)的值. 【规律方法】 给值求值问题的解题策略． (1)从角的关系中找解题思路： 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换． ①α＝(α－β)＋β；②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 题型四 给值求角 【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例11】（2021春·江苏苏州·高一统考期末）若，求的值． 【规律方法】 解题的一般步骤是：(1)先确定