第07讲 平面向量的应用与新定义（六种题型）-冲刺2023年高考数学热点、重难点题型解题方法与策略+真题演练（新高考专用）

第07讲平面向量的应用与新定义（六种题型） 【热点、重难点题型】 题型一：用向量证明线段垂直 一、单选题 1．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知双曲线的焦距为，它的两条渐近线与直线的交点分别为A，B，若O是坐标原点，，且的面积为，则双曲线C的焦距为（    ） A．5 B． C． D． 2．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3．（2022·全国·高三专题练习）已知点O为△ABC所在平面内一点，且，则O一定为△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 4．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（    ） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 二、多选题 5．（2022·全国·高三专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心； B．若，则点为△的内心； C．若，则点为△的外心； D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心. 6．（2020·全国·高三专题练习）已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影为 三、填空题 7．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）已知直线与抛物线交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线，交抛物线于点A，若，则__________． 四、解答题 8．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，直线，点到直线的距离为，若点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为零的直线与交于两点，设，证明：. 9．（2021·全国·高三专题练习） 已知抛物线C：y2＝4x，A，B，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N. （1）当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形； （2）若＝＋，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN. 10．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a， E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF. 11．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M． (1)求曲线C的方程； (2)求证：； (3)求△ ABM的面积的最小值． 题型二：用向量解决夹角问题 一、单选题 1．（2020·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为 A． B． C． D． 2．（2022·全国·高三专题练习）在△中，“ ”是“△为钝角三角形” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 3．（2021秋·山东泰安·高三校考阶段练习）已知向量，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围为______． 4．（2022春·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知，，均为单位向量，且，则与夹角的余弦值为______． 三、解答题 5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P． (1)求的正弦值； (2)求的余弦值． 题型三：用向量解决线段的长度问题 一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则边上的中线长为（    ） A．49 B．7 C． D． 2．（2021·全国·高三专题练习）设数列{xn}的各项都为正数且x1=1．△ABC内的点Pn （n∈N*）均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2：1，若+xn+1+（2xn+1）=，则x4的值为 A．15 B．17 C．29 D．31 3．（2021·云南·统考模拟预测）已知共面向量满足，且.若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为 A． B．2 C．4 D．6 二、填空题 4．（2022·全国·高三专题练习）已知为等边三角形，点G是的重心．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，则__________；与周长之比的取值范围为__________． 5．（2022·全国·高三专题练习）如图，等腰三角形，，．，分别为边，上的动点，且满足，，其中，，，，分别是，的中点，则的最小值为_____. 三、解答题 6．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）在中，内角的对边分别为，. (1)求； (2)若的面积为，求边上的中线的长