11.3　正弦定理、余弦定理的应用（2）（同步教学设计）-苏教版高一数学必修第二册同步教学（课件+教学设计+单元复习）

风周高中数学教学参考书配套教学软件教学设计 11.3正弦定理、余弦定理的应用（2) 江苏省靖江高级中学 刘红霞 教学目标： 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算、 最值探求有关的实际问题. 2.能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及 相关的三角公式解决这些问题. 教学重点： 正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用. 教学难点： 正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、最值探求等方面的应用. 教学方法： 讲练结合. 教学过程： 一、复习引入 (一)主要知识： 1.正弦定理： b =2R. sin A sin B sin C b2+c2-a2 cosA= [a2=b2+c2-2bccos A, 2be a2+c2-b2 2.余弦定理： b2=a2+c2-2 ac cos B,→ cos B= c2=a2+b2-2abcosC. 2ac cosC= a2+b2-c2 2ab 3.推论：正余弦定理的边角互换功能， 1a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C ②sinA= b -sin B=- sin C=- 2R 2R 2R 风凰高中数学教学参考书配套教学软件教学设计 b ③ a+b+c =2R sin A sin B sin C sin A+sin B+sin C 4a:b:c=sin A:sin B:sin C 4.三角形中的基本关系式： sin(B+C)=sin A,cos(B+C)=-cos A, B+Cesin sin +C=cos .cos A 2 2 (二)总结解斜三角形的要求和常用方法： 1.利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问 题： ①己知两角和任一边，求其他两边和一角： ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其他的边和 角. 2.应用余弦定理解以下两类三角形问题： ①己知三边求三内角： ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个内角. 二、问题情境 利用正弦定理、余弦定理解三角形在测量、航海、几何、物理学等方面都有 非常广泛的应用，今天我们继续来研究正弦定理、余弦定理等知识和方法在计算、 最值探求等方面的应用.如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外 壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化 实际问题为抽象的数学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际 中的一些应用. 三、数学运用 1.例题 例1.如图1-3-4，半圆O的直径为2，A为直径延 长线上的一点，OA=2,B为半圆上任意一点，以AB为 B 一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形 OACB面积最大？ 图1-3-4 ________从高中数学教学参考书配套教学铁件数学设计 学生活动： 问题1：四边形怎么产生的呢? 生：OA是定的，B动面积变。 师：是的，四边形的面积由点B的位置惟一确定，而点B由∠AOB惟一确定． 问题2：如何求该四边形的面积? 生：S=S_Δon+S_ΔBc 师：选什么作为自变量呢? 生：四边形OACB的面积随着α(∠AOB)的变化而变化，可设∠AOB=α， 再用α的三角函数来表示四边形OACB的面积。 解设。∠AOB=α。在Δ4OB中，由余弦定理，得 AB^2=1^2+2^2-2x1×2cosa=5-4cosα． 于是，四边形OACB的面积为 受2a+\sqrt{s}-4a)-如a-5ma5 =2sm|a--)45. 因为0<α<π，所以当α-5-平时，α=π，即∠AOBπ时， 四边形OACB的面积最大。 小结：将四边形OACB的面积表示成α的函数，利用三角函数的有界性求出 四边形OACB面积的最大值。 另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式： sin(a+β)=sinαcosβ+sαsnβ的构造及逆用，应要求学生子以重视．■ 例2如图，有两条相交成60∘角的直线XX’、YY'，交点是O，甲、乙分别 在OX、OY上，起初甲离O点3千米，乙离O点1千米，后来两人同时用每小 时4千米的速度，甲沿XX′方向，乙沿YY方向步行， _________风想高中数学教学参考书配套教学软件教学设计 （1）起初两人的距离是多少? （2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离； (3)什么时候两人的距离最短? 解1）设甲、乙两人起初的位置是A，B，AP/o―Ax 则AB^2=0A^2+0B^2-20A·0Bcos60 =3^2+1^2-2×3x1x5=7，/r′ ∴AB=\sqrt{7}km。 ∴起初两人的距离是\sqrt{7}km． 师：如何表示t小时后两人的距离呢? 生：还是用余弦定理，但是要分类讨论，因为夹角发生了改变。 （2）设甲、乙两人t小时后的位置