精品解析：福建省莆田市2023届高三下学期3月第二次教学质量检测数学试题

莆田市2023届高中毕业班第二次教学质量检测试卷 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i为虚数单位，，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（ ） A. 0.23 B. 0.47 C. 0.53 D. 0.77 4. 已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若，则（ ） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 等差数列 D. 是等比数列 6. 某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（） A. B. C. D. 7. 已知函数，将其图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．的顶点都是与图象的公共点，则面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，点M，N分别是上的动点，当线段的长最小时，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知圆，点，点Mx轴上，则（ ） A. B不在圆C上 B. y轴被圆C截得的弦长为3 C. A，B，C三点共线 D. 的最大值为 10. “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，某地区高三男生的“50米跑”测试成绩（单位：秒）服从正态分布，且．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在间的个数记为X，则（ ） A. B. C D. 11. 已知正四面体棱长为，S是及其内部的点构成的集合．若，集合，则T表示的区域可以是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，为单位向量，，的夹角为，则_______． 14. 的展开式中的系数为_______（用数字作答） 15. 直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______． 16. 已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，B关于直线的对称点为．若过A，，F三点的圆的半径为a，则C的离心率为_______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知正项数列满足． （1）求的通项公式； （2）设，记数列的前n项和为，证明：． 18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为的中点，且． （1）证明：； （2）若，求的面积． 19. 如图，直三棱柱的侧面为正方形，，E，F分别为，的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量，样本平均数，样本方差；乙镇的样本容量，样本平均数，样本方差． （1）求由两镇样本组成总样本的平均数及其方差； （2）为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则： 每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束． 当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X，求． 参考数据：． 21. 如图，正六边形的边长为2．已知双曲线的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线． （1）建立适当的平面直角坐标系，求的方程； （2）过A的直线l与交于M，N两点，，若点P满足，证明：P在一条定直线上． 22. 已知函数． （1）若