二次函数中线段问题 2022-2023学年九年级数学中考复习

二次函数中线段问题 九年级数学中考复习 1．定义：两个相似三角形，如果它们的一组对应角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“阳似三角形”、如图1，在△ABC与△AED中，△ABC∽△AED．所以称△ABC与△AED为“阳似三角形”，连接EB，DC，则为“阳似比”． （1）如图1，已知Rt△ABC与Rt△AED为“阳似三角形”，其中∠CBA＝∠DEA＝90°，当∠BAC＝30°时，“阳似比”　 　； （2）如图2，二次函数y＝﹣x2+3x+4交x轴于点A和B两点，交y轴于点C．点M为直线yx在第一象限上的一个动点，且△OMB与△CNB为“阳似三角形”，连接CM， ①当点N落在二次函数图象上时，求出线段OM的长度； ②若CN＝3，求BMMC的值． 2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为（6，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，点D是BC上方抛物线上的一个动点． （1）求这个抛物线的解析式； （2）当△BCD的面积为时，求点D的坐标； （3）是否存在点D，使得∠DCB＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝−x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，点D在射线CO上运动． （1）求该抛物线的表达式和对称轴． （2）过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，F（点E在点F的左侧），若EF＝2OC，求点E的坐标． （3）记抛物线的顶点关于直线EF的对称点为点P，当点P到x轴的距离等于1时，求出所有符合条件的线段EF的长． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C．二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B，C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点（不与端点O，B重合）． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，过点M作y轴的平行线l交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E，记△CEF的面积为S1，△BMF的面积为S2，当时，求点E的坐标； （3）如图②，连接CM，过点M作CM的垂线l1，过点B作BC的垂线l2，l1与l2交于点G，试探究的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知y关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m． （1）该抛物线的对称轴是直线　 　（用含有m的式子表示）； （2）当﹣1≤x≤2时，二次函数有最小值﹣3，求m值； （3）将函数图象位于直线x＝1左侧的部分沿着x轴翻折，翻折后的图象与原图象剩余的部分组成新的图象G、已知点A（﹣4，﹣2），B（3，﹣2），连接AB，若图象G与线段AB只有两个交点，求m的取值范围． 6．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣5，﹣4），B（1，﹣1）均在直线l上． （1）求出直线l的解析式； （2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣9，求m的值； （3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为2m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣m﹣1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而增大． ①求出m的取值范围； ②当0＜PQ≤10时，直接写出线段PQ与二次函数的图象交点个数及对应的m的取值范围． 8．如图1，点A在二次函数y＝ax2（a＞0）对称轴右侧图象上，连接OA，过点A作AB⊥y轴，垂足为点B，过点B作BC∥OA．交x轴于点C，交抛物线于点D． （1）①若点A的坐标为（1，1），则 　 　． ②对于任意点A，①的结论还成立吗？请说明理由． （2）如图2，将该抛物线向左平移1个单位，再向下平移k个单位，此时抛物线与x轴的交点为E，F（点E在点F左侧），与y轴的交点为G（0，﹣3），且当﹣4＜x＜﹣3时y＞0，当0＜x＜1时y＜0． ①抛物线的表达式为 　 　；（直接写结论） ②连接EG，GF，点P为线段EG上一点，过点P作PQ⊥GF，垂足为点Q，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点N，设w＝PNPQ，求w的最大值． 9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，0），（0，3），（1，4）． （1）求二次函数的解析式； （2）当﹣1≤x≤2时，求函数y的最大值和最小值； （3）当﹣1≤x≤m时，函数y的取值范围为0≤y≤4，求m的取值范围； （4）点M的坐标为（n，2），点N的坐标为（n+4，2），若线段MN与该函数图象恰有一