专题05 相似遇到平行四边形-2023年中考相似与圆、函数等结合的五大综合知识题型

专题05 相似遇到平行四边形 ( 知 识 回 放 ) 类型1 矩形ABCD∽矩形AEFG，则： △ABE∽△ACF 类型2 矩形ABCD∽矩形AEFG，则： △ABE∽△ADG； A、B、D、H四点共圆； 类型3 三角形内接矩形 ， 所以， ( 真 题 解 析 ) 典例1 （2022•四川遂宁中考真题）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，连接EC、GA，交于点O，GA与BC交于点P，连接OD、OB，则下列结论一定正确的是（    ） ①EC⊥AG；②△OBP∽△CAP；③OB平分∠CBG；④∠AOD=45°； A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】D． 【解析】解：∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形， ∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=90°=∠GBE， ∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG，即∠ABG=∠EBC， ∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴∠BAG=∠BCE， ∵∠BAG+∠APB=90°， ∴∠BCE+∠APB=90°， ∵∠APB=∠CPO， ∴∠BCE+∠OPC=90°， ∴∠POC=90°， ∴EC⊥AG，故①正确； 取AC的中点K，如图： 在Rt△AOC中，K为斜边AC上的中点， ∴AK=CK=OK， 在Rt△ABC中，K为斜边AC上的中点， ∴AK=CK=BK， ∴AK=CK=OK=BK， ∴A、B、O、C四点共圆， ∴∠BOA=∠BCA， ∵∠BPO=∠CPA， ∴△OBP∽△CAP，故②正确， ∵∠AOC=∠ADC=90°， ∴∠AOC+∠ADC=180°， ∴A、O、C、D四点共圆， ∵AD=CD， ∴∠AOD=∠DOC=∠DAC=45°，故④正确， 由已知不能证明OB平分∠CBG，故③错误， 故正确的有：①②④， 故选：D． 典例2 （2022•贵州铜仁中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，记的面积为，△的面积为． （1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证： （2）探索推广：如图②，若与不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图③，在上取一点E，使，过点E作交于点F，点H为的中点，交于点G，且，若，求值． 【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3） 【解析】 解：（1）如图，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （2）（1）中的结论成立，理由如下： 如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F， ∴， ∴， ， ∵∠DOE=∠BOF， ∴； ∴； （3）如图，过点A作交OB于M，取BM中点N，连接HN， ∵， ∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF， 又∵OE=OC， ∴△OEF≌△OCD（AAS）， ∴OD=OF， ∵， ∴△OEF∽△OAM， ∴， 设，则， ∵H是AB的中点，N是BM的中点， ∴HN是△ABM的中位线， ∴， ∴△OGF∽△OHN， ∴， ∵OG=2GH， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知． 典例3 （2022•四川达州中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持三角形不动，将三角形绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答： (1)【初步探究】如图2，当时，则_____； (2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________； (3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． (4)【拓展延伸】如图5，在△与△中，，若，（m为常数）．保持△不动，将△绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)仍然成立，理由见解析；(4) 【解析】（1）因为等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形CDE， ， 故答案为：45° （2） 在与中， 又 重合， 故答案为： （3）同（2）可得 ， 过点，作，交于点， 则， ， 在与中，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在与中，， ， ， ， 即， （4）过点作，交于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 即． 典例4 （2022•广东深圳中考真题）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证： （2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长． （3）【拓展应用