子数列问题-【三轮冲刺】2023年高考数学热点专题模型通关（数列篇）

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 子数列问题 思路引导 子数列问题包括数列中的奇偶项、公共数列以及分段数列，是近几年高考的重点和热点，一般方法是 构造新数列，利用新数列的特征（等差、等比或其他特们求解原数列. 母题呈现 类型一：两数列的公共项 【典例1】(2020新高考全国1)将数列2n一1}与3m一2：的公共项从小到大排列得到数列{a,},则{an}的前 n项和为 【解题指导】首先判斯出数列2”-Ⅱ与3加-2项的特征，从而判出两个数列公共项所构成新数列的首项 以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果 【解析】方法一（观察归纳法） 数列2n-1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…： 数列3n-2}的各项为1,4,7,10,13， 观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，，是首项为1，公差为6的等差数列， 则an=1+6(n-1)=6n-5 故前n项和为Sn=n0al+anD2=n口1十6n-5D2 =3n2-2n. 方法二（引入参变量法） bn=2n-1,Cm=3m-2,bn=cm 则21一1=3m一2，即3m=2n十1，m必为奇数. 令m=2t-1,则n=31-2(t=1,2,3,). a4=b3t-2=c2r-1=6t-5,即an=6n-5. 以下同方法一· 类型二：奇数项、偶数项 已知等比数列{am的前n项和为Sn,a=1,且4Sm,3Smr,2Sn+2成等差数列. (1)求{am}的通项公式： a,n为奇数 (2)若数列bn}满足b,=0,bn4:-bn=1,设cm= ,求数列cn的前2n项和 b,n为偶数 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利网 学科网原针，让学司更名易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 【分析】(1)运用等差数列的中项性质可得3S1:=2S+S12,即2an」=am,根据等比数列的定义，通项 公式可求： 2”,n为奇数 2)由等差数列的定义和通项公式，可得bn,求得cm n-山，为棋数 运用数列的分组求和，以及等羞 数列和等比数列的求和公式，可得所求和 【解析】(1)由4S,3Sm+,2S+2成等差数列， 可得6Sm+1=4Sm+2Sm2,即3S1+1=2S+S1+2 即2(Sm+1-S)=Sm+2-Sn+ 即2am+1=an+2,又{am}为等比数列，所以等比数列{am}的公比为2， 又a1=1,可得am=2n',n∈N*; (2)由b,=0,bn+1-bn=1,可得{bm}是首项为0，公差为1的等差数列， 则bn=n-1,n∈W*, a,n为奇数2，n为奇数 cn= b,n为偶数n-1,n为偶数 所以{cm的前2n顶和为cr+c+..+cn=(a+a+,.+anu)+(b+bt.+bn) =(1+4+16+.+22m2)+(1+3+.+2n-1) =1-4+1+2m-ln= 4"1 +n2 1-4 2 33 类型三：分段数列 己知公比大于1的等比数列{an}满足a2十a4=20,a=8 (I)求{an}的通项公式： (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N中的项的个数，求数列bm}的前100项和S10 解(I)由于数列{m}是公比大于1的等比数列，设首项为4，公比为q, 依题意有alq+alq3=20,alq2=8,) 解得a1=2,q=2或a1=32,9=12(舍)， 所以4=2，所以数列{a}的通项公式为a,=2” (2)方法一由题意知，2≤m,即l1og2m, 当m=1时，b1=0 当m∈[2,2+1-1)时，bm=k,k∈N, 则S1o0=b1十(b2十b)十(b4+b5十..+b)+.+(b32+b3+.+b6)十(664十b6s+.十b1oo) 2 人原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学种问原创，让学习更容为！ pzx K.coM学科网精品频道全力推荐 =0+1<2+2×4+3×8+4×16+5×32+6-37 =480. 方法二由题意知b_m=k，mE[2，2k+1)， 因此，当m=1时，b_1=0； 当m∈[2，4)时，b_m=1； 当m∈[4.8)时，b_m=2： 当m∈[8，16)时，bm=3； 当m∈[16，32)时，b_m=4； 当m∈[32，64)时，b_m=5； 当m∈[64，128)时，b_m=6 所以S_100=b_1+b_2+b_3+b_4+…+b_10 =0+(1+1)+(2+2+2+2)+…+(6+6+…+6) =0+1<2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37 =480. 所以数列{bn}的前100项和S_1=480 方法总结 1数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(a_n＋a_π+1=f(n)或a_xa_n