数列中新定义问题-【三轮冲刺】2023年高考数学热点专题模型通关（数列篇）

数列中的新定义问题 思路引导 高考对创新能力的考查，主要是要求考生不仅能理解一些概念，定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学中和现实生活中的比较新颖、有一定深度和广度的问题．要增加研究型、探索型、开放型的试题，考查考生发散性思维和创造性思维． 母题呈现 【典例1】（2022·浙江省春晖中学模拟预测）已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数"的和. 【解题指导】（1）由→→两式相减得的奇数项和偶数项各自成等差数列→求通项 （2）的表达式→→求得→结合区间确定m的值→求和 【解析】（1）因为，所以当 时，， 故两式相减得： ， 【易错提醒】注意下标，的奇数项和偶数项各自成等差数列 即的奇数项和偶数项各自成等差数列，且公差为2，且， 所以奇数项 ，则为奇数时， ， 偶数项，则为偶数时， ， 故数列的通项公式为； （2） 由（1）可得，， 所以， 设,故 ， 令，则 ，由于m是整数，故m的值取1，2，3，4，5， 【技巧】根据幸福数，确定m的取值 故区间内所有“幸福数"的和为 . 方法总结 解决数列中新定义中的数列问题的一般流程: (1)读懂定义,理解新定义数列的含义; (2)特殊分析,比如先对n=1,2,3,…的情况进行讨论; (3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案; (4)联系等差数列与等比数列知识将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解. 模拟训练 1．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前n项和为，则（    ） A．2023 B．2021 C．1011 D．1013 2．（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则（    ） A． B． C． D． 3．(多选题）（2022秋·福建福州·高二校联考期末）在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（    ） A．是平方等差数列 B．若是平方等差数列，则是等差数列 C．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列 D．若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列 秋·吉林长春·高二校考期末）设为数列的前项和，若等于同一个非零常数，则称数列为“和等比数列”．则下列结论正确的是（    ） A．存在等比数列为“和等比数列” B．非等差、等比数列不可能为“和等比数列” C．任意一个等比数列一定是“和等比数列” D．若各项都是正数且公比是的等比数列，满足，则数列为“和等比数列” 5．（2022·江苏·高二期末）定义各项为正数的数列的“美数”为.若各项为正数的数列的“美数”为，且，则______. 6．（2023秋·河北保定·高三统考期末）数列的前n项和为满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列满足，在数列中别除掉属于数列的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列，求数列的前100项和． 7．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足．记的前n项和为． (1)求； (2)设，若表示不小于x的最小整数，如，试判断是否存在正整数n，使得？若存在，求出n的取值集合；若不存在，请说出理由． 8．（2023·高二课时练习）如果有穷数列，，，…，（为正整数）满足条件，，…，，即，我们称其为“对称数列”.例如，由组合数，，…，组成的数列就是“对称数列”. (1)设是项数为7的“对称数列”，其中，，，是等差数列，且，，依次写出的每一项； (2)设是项数为（正整数）的“对称数列”，其中，，…，是首项为50，公差为的等差数列.记各项的和为，当为何值时，取得最大值？并求出的最大值. 9．（2023秋·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”. (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围; (2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围. 10．（2021秋·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知数列为等差数列，公差为，前项和为. (1)若，求的值； (2)若首项中恰有6项在区间内，求的范围； (3)若首项，公差，集合，是